Задание 14 Параграф 2 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) Докажите, что если переменные а и b заменить соответственно выражениями mа и mb, где m — любое число, отличное от нуля, то получим выражение, тождественно равное данному.
2) Найдите значение данного выражения при а = -2/17, b = 3/17.

Подробный ответ

1) Подставим вместо $$a$$ и $$b$$ выражения $$ma$$ и $$mb$$, где $$m \ne 0$$:

$$ \frac{3a^3-5b^3}{a^3-a^2b+2ab^2} = \frac{3(ma)^3-5(mb)^3}{(ma)^3-(ma)^2\cdot(mb)+2\cdot(ma)\cdot(mb)^2} $$

$$ = \frac{3a^3m^3-5b^3m^3}{a^3m^3-a^2bm^3+2ab^2m^3} = \frac{m^3(3a^3-5b^3)}{m^3(a^3-a^2b+2ab^2)} $$

Так как $$m \ne 0$$, то $$m^3 \ne 0$$, значит, можно сократить на $$m^3$$:

$$ \frac{m^3(3a^3-5b^3)}{m^3(a^3-a^2b+2ab^2)} = \frac{3a^3-5b^3}{a^3-a^2b+2ab^2} $$

Следовательно, выражение тождественно не изменяется.

2) Найдём значение выражения при $$a=-\frac{2}{17}$$, $$b=\frac{3}{17}$$. Удобно воспользоваться тем, что значение не меняется при замене $$a$$ и $$b$$ на $$17a$$ и $$17b$$, то есть можно взять $$a=-2$$, $$b=3$$:

$$ \frac{3a^3-5b^3}{a^3-a^2b+2ab^2} = \frac{3\cdot(-2)^3-5\cdot3^3}{(-2)^3-(-2)^2\cdot3+2\cdot(-2)\cdot3^2} $$

$$ = \frac{3\cdot(-8)-5\cdot27}{-8-4\cdot3-4\cdot9} = \frac{-24-135}{-8-12-36} = \frac{-159}{-56} = \frac{159}{56} $$