Задание 14 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Постройте график функции $$y=\frac{24-6x^2}{x^3-4x}$$. Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$:
- имеет с графиком одну общую точку;
- не имеет с графиком общих точек.
Упростим заданную функцию:
$$y=\frac{24-6x^2}{x^3-4x} =\frac{6(4-x^2)}{x(x^2-4)} =\frac{6(2-x)(2+x)}{x(x-2)(x+2)} =-\frac{6}{x},$$
где $$x\ne -2,\; x\ne 0,\; x\ne 2.$$
Значит, искомый график — это график функции $$y=-\frac{6}{x}$$ с выколотыми точками при $$x=-2,\;0,\;2.$$
1) Прямая $$y=kx$$ имеет с графиком одну общую точку
Найдём точки пересечения:
$$-\frac{6}{x}=kx \quad \Rightarrow \quad -6=kx^2 \quad \Rightarrow \quad x^2=-\frac{6}{k}.$$
Чтобы было ровно одно решение, нужно, чтобы уравнение имело единственный корень. Но:
- при $$k>0$$ правая часть отрицательна, решений нет;
- при $$k<0$$ получаются два корня $$x=\pm\sqrt{-\frac{6}{k}},$$ то есть две точки пересечения.
Следовательно, прямая $$y=kx$$ не может иметь с графиком ровно одну общую точку.
2) Прямая $$y=kx$$ не имеет с графиком общих точек
Это возможно, если:
- $$k\ge 0$$, тогда уравнение $$x^2=-\frac{6}{k}$$ не имеет решений;
- $$k=-1{,}5$$, потому что тогда точки пересечения были бы при $$x=\pm2,$$ а эти точки выколоты и не принадлежат графику.
Ответ: 1) таких $$k$$ не существует; 2) $$k=-1{,}5$$ или $$k\ge 0$$.
