Задание 14 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) имеет с графиком одну общую точку;
2) не имеет с графиком общих точек.

Подробный ответ

Упростим заданную функцию:

$$ y=\frac{24-6x^2}{x^3-4x} =\frac{6(4-x^2)}{x(x^2-4)} =\frac{6(2-x)(2+x)}{x(x-2)(x+2)} =-\frac{6}{x}, $$

где $$x\ne -2,\; x\ne 0,\; x\ne 2.$$

Значит, искомый график — это график гиперболы $$y=-\frac{6}{x}$$ с выколотыми точками при $$x=-2,\;0,\;2.$$

Найдём, при каких $$k$$ прямая $$y=kx$$ имеет с этим графиком одну общую точку:

$$ -\frac{6}{x}=kx \Rightarrow -6=kx^2 \Rightarrow x^2=-\frac{6}{k}. $$

Чтобы было ровно одно решение, нужно, чтобы уравнение имело единственный корень. Но при $$k>0$$ правая часть отрицательна, решений нет, а при $$k<0$$ получаются два корня $$x=\pm\sqrt{-\frac{6}{k}}$$, то есть две точки пересечения, если они не выколоты.

Проверим, когда корни совпадают с выколотыми точками:

$$ x=\pm 2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow -\frac{6}{k}=4 \Rightarrow k=-\frac{3}{2}. $$

При $$k=-\frac{3}{2}$$ точки пересечения соответствуют $$x=\pm 2$$, но они выколоты, значит общих точек нет.

Если $$k=0$$, то прямая $$y=0$$ не пересекает график $$y=-\frac{6}{x}$$.