Задание 14 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) (1/(ab+b^2 )-8/(a^2+ab)+16b/(a^3+a^2 b)) :(a/b^2 -8/b+16/a);
2) ((bc+c^2)/(b^2-bc)+bc+c^2 )•b/(b+c)-c/(b-c);
3) (1/ab+1/bc+1/ac) :(a^2-b^2-c^2-2bc)/ab;
4) ((a^2+a)/(a^3+a^2+a+1)+1/(a^2+1)) :(1/(a-1)-2a/(a^3-a^2+a-1)).
$$\left(\frac{1}{ab+b^2}-\frac{8}{a^2+ab}+\frac{16b}{a^3+a^2b}\right):\left(\frac{a}{b^2}-\frac{8}{b}+\frac{16}{a}\right)$$
Разложим знаменатели на множители:
$$ab+b^2=b(a+b), \quad a^2+ab=a(a+b), \quad a^3+a^2b=a^2(a+b).$$Тогда
$$ \frac{1}{b(a+b)}-\frac{8}{a(a+b)}+\frac{16b}{a^2(a+b)} = \frac{a^2-8ab+16b^2}{a^2b(a+b)}. $$А также
$$ \frac{a}{b^2}-\frac{8}{b}+\frac{16}{a} = \frac{a^2-8ab+16b^2}{ab^2}. $$Поэтому
$$ \frac{a^2-8ab+16b^2}{a^2b(a+b)}:\frac{a^2-8ab+16b^2}{ab^2} = \frac{a^2-8ab+16b^2}{a^2b(a+b)}\cdot\frac{ab^2}{a^2-8ab+16b^2} = \frac{b}{a(a+b)}. $$$$\left(\frac{bc+c^2}{b^2-bc}+bc+c^2\right)\cdot\frac{b}{b+c}-\frac{c}{b-c}$$
Вынесем общий множитель:
$$bc+c^2=c(b+c), \quad b^2-bc=b(b-c).$$Тогда
$$ \frac{bc+c^2}{b^2-bc}+bc+c^2 = c(b+c)\left(\frac{1}{b^2-bc}+1\right) = c(b+c)\cdot\frac{b^2-bc+1}{b^2-bc}. $$Получаем
$$ c(b+c)\cdot\frac{b^2-bc+1}{b^2-bc}\cdot\frac{b}{b+c}-\frac{c}{b-c} = \frac{c(b^2-bc+1)}{b-c}-\frac{c}{b-c}. $$$$ \frac{c(b^2-bc+1)-c}{b-c} = \frac{c(b^2-bc)}{b-c} = \frac{cb(b-c)}{b-c} = bc. $$
$$\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right):\frac{a^2-b^2-c^2-2bc}{ab}$$
Сложим дроби в первой скобке:
$$ \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} = \frac{c+a+b}{abc}. $$Во второй дроби:
$$ a^2-b^2-c^2-2bc=a^2-(b+c)^2=(a-b-c)(a+b+c). $$Тогда
$$ \frac{a+b+c}{abc}:\frac{(a-b-c)(a+b+c)}{ab} = \frac{a+b+c}{abc}\cdot\frac{ab}{(a-b-c)(a+b+c)} = \frac{1}{c(a-b-c)}. $$$$\left(\frac{a^2+a}{a^3+a^2+a+1}+\frac{1}{a^2+1}\right):\left(\frac{1}{a-1}-\frac{2a}{a^3-a^2+a-1}\right)$$
Разложим знаменатели:
$$ a^3+a^2+a+1=(a+1)(a^2+1), \quad a^3-a^2+a-1=(a-1)(a^2+1). $$Тогда
$$ \frac{a^2+a}{a^3+a^2+a+1}+\frac{1}{a^2+1} = \frac{a^2+a}{(a+1)(a^2+1)}+\frac{1}{a^2+1} = \frac{a+1}{a^2+1}. $$А во второй скобке:
$$ \frac{1}{a-1}-\frac{2a}{a^3-a^2+a-1} = \frac{1}{a-1}-\frac{2a}{(a-1)(a^2+1)} = \frac{a-1}{(a-1)(a^2+1)} = \frac{1}{a^2+1}. $$Следовательно,
$$ \frac{a+1}{a^2+1}:\frac{1}{a^2+1}=a+1. $$
Ответ
1) $$\frac{b}{a(a+b)}$$; 2) $$bc$$; 3) $$\frac{1}{c(a-b-c)}$$; 4) $$a+1$$.
