Задание 13 Параграф 21 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 13. Известно, что x_1 и x_2 — корни уравнения x^2-(2a-3)x+a^2-4=0. Найдите значения a, при которых верно равенство 3x_1+3x_2=x_1 x_2.

По теореме Виета для уравнения $$x^2-(2a-3)x+a^2-4=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=2a-3,$$

$$x_1x_2=a^2-4.$$

По условию:

$$3x_1+3x_2=x_1x_2.$$

Тогда

$$3(x_1+x_2)=x_1x_2.$$

Подставим формулы Виета:

$$3(2a-3)=a^2-4.$$

Получаем:

$$6a-9=a^2-4$$

$$a^2-6a+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16,$$

$$a=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Тогда

$$a_1=1,\quad a_2=5.$$

Ответ

$$a=1,\; a=5.$$