Задание 13 Параграф 21 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-(2a-3)x+a^2-4=0$$. Найдите значения $$a$$, при которых верно равенство $$3x_1+3x_2=x_1x_2$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-(2a-3)x+a^2-4=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2a-3, \qquad x_1x_2=a^2-4.$$

По условию:

$$3x_1+3x_2=x_1x_2,$$

то есть

$$3(x_1+x_2)=x_1x_2.$$

Подставим формулы Виета:

$$3(2a-3)=a^2-4.$$

Получаем:

$$6a-9=a^2-4$$

$$a^2-6a+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=36-20=16,$$

$$a=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Тогда

$$a_1=1,\qquad a_2=5.$$

Ответ: $$a=1$$ или $$a=5$$.