Задание 13 Параграф 20 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$\lvert x^2+6x-2\rvert=10$$;
2) $$x\lvert x\rvert+2x-35=0$$;
3) $$3x^2+13\lvert x\rvert-10=0$$;
4) $$7x^2-15\sqrt{x^2}+2=0$$.
1) $$|x^2+6x-2|=10$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2+6x-2=10$$
$$x^2+6x-12=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-12)=36+48=84$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{84}}{2}=\frac{-6\pm 2\sqrt{21}}{2}=-3\pm\sqrt{21}$$
$$x^2+6x-2=-10$$
$$x^2+6x+8=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 2}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=-2$$
Итак, $$x=-4,\,-2,\,-3\pm\sqrt{21}.$$
2) $$x|x|+2x-35=0$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем:
$$x^2+2x-35=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-35)=4+140=144$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=5$$
Корень $$x=-7$$ не подходит, так как $$x\ge 0.$$ Значит, $$x=5.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем:
$$-x^2+2x-35=0$$
$$x^2-2x+35=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 35=4-140=-136<0$$
Корней нет.
Следовательно, $$x=5.$$
3) $$3x^2+13|x|-10=0$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и:
$$3x^2+13x-10=0$$
$$D=13^2-4\cdot 3\cdot(-10)=169+120=289$$
$$x_{1,2}=\frac{-13\pm 17}{6}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=\frac{2}{3}$$
Корень $$x=-5$$ не подходит, так как $$x\ge 0.$$ Остаётся $$x=\frac{2}{3}.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и:
$$3x^2-13x-10=0$$
$$D=(-13)^2-4\cdot 3\cdot(-10)=169+120=289$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 17}{6}$$
$$x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=5$$
Корень $$x=5$$ не подходит, так как $$x<0.$$ Остаётся $$x=-\frac{2}{3}.$$
Итак, $$x=\pm \frac{2}{3}.$$
4) $$7x^2-15\sqrt{x^2}+2=0$$
Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ получаем:
$$7x^2-15|x|+2=0$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и:
$$7x^2-15x+2=0$$
$$D=15^2-4\cdot 7\cdot 2=225-56=169$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 13}{14}$$
$$x_1=\frac{1}{7},\quad x_2=2$$
Оба корня подходят.
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и:
$$7x^2+15x+2=0$$
$$D=15^2-4\cdot 7\cdot 2=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-15\pm 13}{14}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=-\frac{1}{7}$$
Оба корня подходят.
Следовательно, $$x=\pm \frac{1}{7},\ \pm 2.$$
