Задание 13 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 13. Постройте график функции y=(3x-3)/(x^2-x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком одну общую точку.

$$ y=\frac{3x-3}{x^2-x}=\frac{3(x-1)}{x(x-1)}=\frac{3}{x}, \quad x\ne 1,\; x\ne 0. $$

Значит, график функции совпадает с гиперболой $$y=\frac{3}{x}$$, но точка с абсциссой $$x=1$$ не входит в график.

Чтобы прямая $$y=kx$$ имела с этим графиком одну общую точку, она должна касаться гиперболы в одной точке. Для графика $$y=\frac{3}{x}$$ это происходит при
$$ kx=\frac{3}{x}. $$
Тогда
$$ kx^2=3. $$
Одна общая точка будет только в случае касания, то есть когда уравнение имеет единственное решение. Это возможно при
$$ k=3, $$
так как тогда
$$ 3x=\frac{3}{x}\Rightarrow x^2=1, $$
и с учётом исключённой точки $$x=1$$ остаётся одна общая точка при $$x=-1$$.

Ответ

$$k=3$$