Задание 12 Параграф 16 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$2\sqrt{x^2}=2x+4$$; 2) $$\sqrt{x^2}=3x+2$$; 3) $$x+3\sqrt{x^2}=1$$; 4) $$x^2-2x+\sqrt{x^2}=0$$.
1) $$2\sqrt{x^2}=2x+4.$$
Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ получаем:
$$2|x|=2x+4.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и
$$2x=2x+4,$$
откуда $$0=4.$$ Противоречие.
2) $$x<0.$$ Тогда $$|x|=-x,$$ и
$$-2x=2x+4,$$
$$-4x=4,$$
$$x=-1.$$
Это значение подходит.
2) $$\sqrt{x^2}=3x+2.$$
Имеем:
$$|x|=3x+2.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и
$$x=3x+2,$$
$$-2x=2,$$
$$x=-1.$$
Но это не подходит, так как $$x\ge 0.$$
2) $$x<0.$$ Тогда $$|x|=-x,$$ и
$$-x=3x+2,$$
$$-4x=2,$$
$$x=-\frac12.$$
Это значение подходит.
3) $$x+3\sqrt{x^2}=1.$$
Имеем:
$$x+3|x|=1.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и
$$x+3x=1,$$
$$4x=1,$$
$$x=\frac14.$$
2) $$x<0.$$ Тогда $$|x|=-x,$$ и
$$x-3x=1,$$
$$-2x=1,$$
$$x=-\frac12.$$
Оба значения подходят.
4) $$x^2-2x+\sqrt{x^2}=0.$$
Имеем:
$$x^2-2x+|x|=0.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и
$$x^2-2x+x=0,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=1.$$
2) $$x<0.$$ Тогда $$|x|=-x,$$ и
$$x^2-2x-x=0,$$
$$x^2-3x=0,$$
$$x(x-3)=0.$$
Получаем $$x=0$$ или $$x=3,$$ но эти значения не подходят, так как $$x<0.$$
Ответ
1) $$x=-1$$; 2) $$x=-\frac12$$; 3) $$x=\frac14,\ -\frac12$$; 4) $$x=0,\ 1$$.
