Задание 12 Параграф 7 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 12. При каких значениях a уравнение (x-a)(x+5a)/(x-20)=0 имеет один корень?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$ \frac{(x-a)(x+5a)}{x-20}=0 $$
$$ \begin{cases} (x-a)(x+5a)=0,\\ x\ne 20. \end{cases} $$

Из числителя получаем:

$$ x-a=0 \Rightarrow x=a, $$
$$ x+5a=0 \Rightarrow x=-5a. $$

Чтобы уравнение имело ровно один корень, возможны два случая:

• один из корней не подходит из-за ограничения $$x\ne 20$$, а второй остаётся;
• корни совпадают.

1) Если $$a=20$$, то корень $$x=a$$ не подходит, а второй корень $$x=-5a=-100$$ остаётся. Получаем один корень.

2) Если корни совпадают, то

$$ a=-5a \Rightarrow 6a=0 \Rightarrow a=0. $$

При $$a=0$$ оба корня совпадают: $$x=0$$.

Значит, уравнение имеет один корень при

$$ a=0 \quad \text{или} \quad a=20. $$

Ответ

$$ a=0,\ 20 $$