Задание 12 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 12. При каких значениях a уравнение (x^2-ax+9)/(x-2)=0 имеет единственный корень?

Подробный ответ

Уравнение

$$\frac{x^2-ax+9}{x-2}=0$$

равносильно системе

$$ \begin{cases} x^2-ax+9=0,\\ x\ne 2. \end{cases} $$

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, возможны два случая:

квадратное уравнение $$x^2-ax+9=0$$ имеет один корень;
оно имеет два корня, но один из них равен $$2$$, тогда в исходном уравнении останется только один допустимый корень.

1) Найдём, когда квадратное уравнение имеет один корень:

$$D=a^2-4\cdot 1\cdot 9=a^2-36.$$

Если $$D=0$$, то

$$a^2-36=0 \Rightarrow a^2=36 \Rightarrow a=-6 \text{ или } a=6.$$

В этом случае корень уравнения:

$$x=\frac{a}{2}.$$

При $$a=-6$$ получаем $$x=-3$$, при $$a=6$$ получаем $$x=3$$. Оба значения допустимы, так как не равны $$2$$.

2) Пусть один из корней равен $$2$$. Тогда подставим $$x=2$$ в уравнение:

$$2^2-2a+9=0$$

$$13-2a=0$$

$$a=\frac{13}{2}=6{,}5.$$

Тогда второй корень равен