Задание 12 Параграф 21 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 12. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 4 раза меньше соответствующих корней уравнения x^2 -12x+5=0.

Подробный ответ

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-12x+5=0$$, а $$x_1’$$ и $$x_2’$$ — корни искомого уравнения. По условию

$$x_1’=\frac{x_1}{4}, \quad x_2’=\frac{x_2}{4}.$$

По теореме Виета для данного уравнения:

$$x_1+x_2=12, \quad x_1x_2=5.$$

Тогда для искомых корней:

$$x_1’+x_2’=\frac{x_1}{4}+\frac{x_2}{4}=\frac{x_1+x_2}{4}=\frac{12}{4}=3,$$

$$x_1’x_2’=\frac{x_1}{4}\cdot\frac{x_2}{4}=\frac{x_1x_2}{16}=\frac{5}{16}.$$

Следовательно, по обратной теореме Виета искомое уравнение:

$$x^2-3x+\frac{5}{16}=0.$$

Умножим обе части на $$16$$:

$$16x^2-48x+5=0.$$