Задание 12 Параграф 20 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 12. Докажите, что если для коэффициентов квадратного уравнения ax^2+bx+c=0 выполняется равенство a+c=b, то корнями этого уравнения являются числа -1 и -c/a.

Подставим в квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ вместо переменной $$x$$ число $$-1$$. Получим:

$$a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c=a-b+c.$$

По условию $$a+c=b$$, значит

$$a-b+c=0.$$

Следовательно, число $$-1$$ является корнем данного уравнения.

Теперь подставим вместо $$x$$ число $$-\frac{c}{a}$$:

$$a\left(-\frac{c}{a}\right)^2+b\left(-\frac{c}{a}\right)+c = a\cdot\frac{c^2}{a^2}-\frac{bc}{a}+c = \frac{c^2}{a}-\frac{bc}{a}+c$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{c^2-bc+ac}{a}=\frac{c(a-b+c)}{a}.$$

Так как $$a+c=b$$, то $$a-b+c=0$$. Тогда

$$\frac{c(a-b+c)}{a}=0.$$

Следовательно, число $$-\frac{c}{a}$$ также является корнем данного уравнения.

Ответ

Корнями уравнения являются числа $$-1$$ и $$-\frac{c}{a}$$.