Задание 11 Параграф 12 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-9}=0$$;
   2) $$\sqrt{-x-1}+\sqrt{x+1}=0$$;
   3) $$\sqrt{x-6}+\sqrt{4-x}=3$$;
   4) $$(x-2)\sqrt{x-4}=0$$;
   5) $$(x+5)\sqrt{3-x}=0$$.

1) $$\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-9}=0$$

Левая часть — сумма двух неотрицательных слагаемых. Сумма равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$$\begin{cases} x^2+3x=0,\\ x^2-9=0. \end{cases}$$

Решим систему:

$$x(x+3)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-3,$$

$$x^2=9 \Rightarrow x=-3 \text{ или } x=3.$$

Общий корень только один: $$x=-3.$$

2) $$\sqrt{-x-1}+\sqrt{x+1}=0$$

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если каждое из них равно нулю:

$$\begin{cases} -x-1=0,\\ x+1=0. \end{cases}$$

Оба уравнения дают одно и то же значение:

$$x=-1.$$

3) $$\sqrt{x-6}+\sqrt{4-x}=3$$

Чтобы выражение имело смысл, нужно одновременно:

$$x-6\ge 0,\qquad 4-x\ge 0.$$

Но тогда должно выполняться:

$$x\ge 6 \quad \text{и} \quad x\le 4,$$

что невозможно. Следовательно, решений нет.

4) $$(x-2)\sqrt{x-4}=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$\begin{cases} x-2=0,\\ \sqrt{x-4}=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $$x=2,$$ но при этом $$\sqrt{x-4}$$ не имеет смысла.
Из второго уравнения:

$$x-4=0 \Rightarrow x=4.$$

Проверка подходит, значит корень один: $$x=4.$$

5) $$(x+5)\sqrt{3-x}=0$$

Произведение равно нулю, если:

$$\begin{cases} x+5=0,\\ \sqrt{3-x}=0. \end{cases}$$

Получаем:

$$x=-5,$$

и

$$3-x=0 \Rightarrow x=3.$$

Оба значения подходят.

Ответ

1) $$x=-3$$; 2) $$x=-1$$; 3) корней нет; 4) $$x=4$$; 5) $$x=-5,\; x=3$$.