Задание 11 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 11. Для каждого значения a решите уравнение (x^2-(5a+4)x+20a)/(x-15)=0.

Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2-(5a+4)x+20a}{x-15}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$ \begin{cases} x^2-(5a+4)x+20a=0,\\ x\ne 15. \end{cases} $$

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

$$ D=(5a+4)^2-4\cdot 20a=25a^2+40a+16-80a=25a^2-40a+16=(5a-4)^2. $$

Так как $$D=(5a-4)^2\ge 0,$$ то возможны случаи.

1) Если $$D=0,$$ то

$$5a-4=0 \Rightarrow a=\frac45=0{,}8.$$

Тогда

$$x=\frac{5a+4}{2}=\frac{5\cdot 0{,}8+4}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Проверка ОДЗ: $$4\ne 15,$$ значит, $$x=4$$ подходит.

2) Если $$D>0,$$ то

$$a>0{,}8.$$

Корни квадратного уравнения:

$$ x_{1,2}=\frac{5a+4\pm \sqrt{(5a-4)^2}}{2}. $$

При $$a>0{,}8$$ имеем $$\sqrt{(5a-4)^2}=5a-4,$$ поэтому

$$ x_1=\frac{5a+4-(5a-4)}{2}=\frac{8}{2}=4, \qquad x_2=\frac{5a+4+(5a-4)}{2}=\frac{10a}{2}=5a. $$

Оба корня подходят, если не нарушают условие $$x\ne 15.$$

Значит, при $$a>0{,}8$$:

$$x=4 \text{ или } x=5a,$$

но если $$5a=15,$$ то есть $$a=3,$$ корень $$x=15$$ нужно исключить. Тогда при $$a=3$$ остаётся только $$x=4.$$

3) Если $$D<0,$$ то корней нет. Но здесь $$D=(5a-4)^2$$ не может быть отрицательным, значит, этот случай невозможен.

Ответ

Если $$a=0{,}8,$$ то $$x=4$$; если $$a>0{,}8$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=4$$ или $$x=5a$$; если $$a=3,$$ то $$x=4.$$