Задание 11 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Для каждого значения $$a$$ решите уравнение $$\frac{x^2-(5a+4)x+20a}{x-15}=0$$.
Рассмотрим уравнение
$$\frac{x^2-(5a+4)x+20a}{x-15}=0.$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$\begin{cases} x^2-(5a+4)x+20a=0,\\ x\ne 15. \end{cases}$$
Найдём дискриминант квадратного уравнения:
$$D=(5a+4)^2-4\cdot 20a=25a^2+40a+16-80a=25a^2-40a+16=(5a-4)^2.$$
Тогда возможны три случая.
Если $$D=0,$$ то $$5a-4=0,$$ откуда $$a=0{,}8.$$
Тогда
$$x=\frac{5a+4}{2}=\frac{5\cdot 0{,}8+4}{2}=\frac{8}{2}=4.$$
Если $$D>0,$$ то $$a>0{,}8.$$
Корни квадратного уравнения:
$$x_1=\frac{5a+4-(5a-4)}{2}=\frac{8}{2}=4,$$
$$x_2=\frac{5a+4+(5a-4)}{2}=\frac{10a}{2}=5a.$$
Оба корня подходят, если не нарушают условие $$x\ne 15.$$
Если $$D<0,$$ то $$a<0{,}8,$$ и корней нет.
Проверим условие $$x\ne 15.$$
При $$x=4$$ оно выполняется всегда. При $$x=5a$$ нужно исключить случай $$5a=15,$$ то есть $$a=3.$$
Значит, при $$a=3$$ корень $$x=15$$ не подходит, и остаётся только $$x=4.$$
Ответ: если $$a<0{,}8,$$ корней нет; если $$a=0{,}8,$$ то $$x=4$$; если $$0{,}8<a\ne 3,$$ то $$x=4$$ или $$x=5a$$; если $$a=3,$$ то $$x=4.$$
