Задание 11 Параграф 20 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 11. Докажите, что если для коэффициентов квадратного уравнения ax^2+bx+c=0 выполняется равенство a+b+c=0, то корнями этого уравнения являются числа 1 и c/a.

Подставим в квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ вместо переменной $$x$$ число $$1$$. Получим:

$$a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=a+b+c.$$

По условию $$a+b+c=0$$, значит, число $$1$$ является корнем уравнения.

Теперь подставим вместо $$x$$ число $$\frac{c}{a}$$. Тогда:

$$a\left(\frac{c}{a}\right)^2+b\cdot \frac{c}{a}+c=\frac{c^2}{a}+\frac{bc}{a}+c=\frac{c^2+bc+ac}{a}=\frac{c(a+b+c)}{a}.$$

Так как $$a+b+c=0$$, то

$$\frac{c(a+b+c)}{a}=\frac{c\cdot 0}{a}=0.$$

Следовательно, число $$\frac{c}{a}$$ также является корнем данного уравнения.

Ответ

Корни уравнения: $$1$$ и $$\frac{c}{a}$$.