Задание 10 Параграф 12 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом значении переменной имеет смысл выражение:

1. $$\sqrt{x^2-12x+41}$$;
2. $$\sqrt{x^2+3x+13}$$.

1) $$\sqrt{x^2-12x+41}$$

Выделим квадрат двучлена:

$$x^2-12x+41=x^2-2\cdot x\cdot 6+36-36+41=(x-6)^2+5.$$

Так как $$\,(x-6)^2\ge 0$$ при любом значении $$x$$, то

$$(x-6)^2+5>0.$$

Значит, подкоренное выражение всегда положительно, и корень имеет смысл при любом $$x$$.

2) $$\sqrt{x^2+3x+13}$$

Выделим квадрат двучлена:

$$x^2+3x+13=x^2+2\cdot x\cdot 1{,}5+2{,}25-2{,}25+13=(x+1{,}5)^2+10{,}75.$$

Так как $$\,(x+1{,}5)^2\ge 0$$ при любом значении $$x$$, то

$$(x+1{,}5)^2+10{,}75>0.$$

Следовательно, подкоренное выражение всегда положительно, значит, данное выражение имеет смысл при любом значении переменной.

Ответ

1) имеет смысл при любом $$x$$;
2) имеет смысл при любом $$x$$.