Задание 10 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 10. Постройте график функции y=(x^4-x^2)/(x^2-1) и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком одну общую точку.

Подробный ответ

Преобразуем функцию:

$$ y=\frac{x^4-x^2}{x^2-1}=\frac{x^2(x^2-1)}{x^2-1}=x^2,\quad x\ne \pm 1. $$

Значит, график данной функции совпадает с графиком параболы $$y=x^2$$, но точки $$(-1;1)$$ и $$(1;1)$$ не входят в график.

Найдём, при каких $$k$$ прямая $$y=kx$$ имеет с этим графиком одну общую точку. Решим уравнение пересечения:

$$ x^2=kx. $$

$$ x^2-kx=0 $$

$$ x(x-k)=0. $$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=k$$.

Чтобы была только одна общая точка, нужно, чтобы либо второй корень совпал с первым, либо одна из точек пересечения не входила в график.

1) Если $$k=0$$, то получаем единственную точку $$x=0$$, то есть $$(0;0)$$.

2) Если $$k=1$$, то корни $$x=0$$ и $$x=1$$, но точка $$(1;1)$$ не принадлежит графику, поэтому остаётся только одна общая точка $$(0;0)$$.