Задание 10 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Постройте график функции $$y=\frac{x^4-x^2}{x^2-1}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ имеет с графиком одну общую точку.
$$y=\frac{x^4-x^2}{x^2-1}.$$
Преобразуем выражение:
$$\frac{x^4-x^2}{x^2-1}=\frac{x^2(x^2-1)}{x^2-1}=x^2,\quad x\ne \pm1.$$
Значит, график данной функции совпадает с графиком параболы $$y=x^2$$, но точки $$(-1;1)$$ и $$(1;1)$$ не входят в график.
Найдём, при каких $$k$$ прямая $$y=kx$$ имеет с этим графиком одну общую точку. Решим уравнение пересечения:
$$x^2=kx.$$
$$x^2-kx=0$$
$$x(x-k)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=k$$.
Чтобы была ровно одна общая точка, нужно, чтобы:
- либо оба корня совпали: $$k=0$$;
- либо один из корней не подходил из-за исключённых значений $$x=\pm1$$.
Если $$k=1$$, то корни $$x=0$$ и $$x=1$$, но точка $$x=1$$ исключена, остаётся одна общая точка.
Если $$k=-1$$, то корни $$x=0$$ и $$x=-1$$, но точка $$x=-1$$ исключена, остаётся одна общая точка.
Итак, прямая $$y=kx$$ имеет с графиком одну общую точку при
$$k=-1,\;0,\;1.$$
Ответ
$$k=-1,\;0,\;1.$$
