Задание 10 Параграф 7 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (3x+4)/(x^2-36)=(x+3)/(x^2+6x)+(2x-1)/(x^2-6x);
2) 1/(x+5)^2 -2/(x^2-25)=3/(x-5)^2 ;
3) 2/(2x+3)-(x-5)/(2x^2-3x)=(2x+11)/(4x^2-9).

Подробный ответ

$$\frac{3x+4}{x^2-36}=\frac{x+3}{x^2+6x}+\frac{2x-1}{x^2-6x}$$
Область допустимых значений:
$$x\neq -6,\; x\neq 0,\; x\neq 6.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{3x+4}{(x-6)(x+6)}-\frac{x+3}{x(x+6)}-\frac{2x-1}{x(x-6)}=0. $$
Тогда
$$ \frac{x(3x+4)-(x+3)(x-6)-(2x-1)(x+6)}{x(x+6)(x-6)}=0. $$
Числитель:
$$ x(3x+4)-(x+3)(x-6)-(2x-1)(x+6) $$
$$ =3x^2+4x-(x^2-3x-18)-(2x^2+11x-6) $$
$$ =-4x+24. $$
Получаем:
$$ \frac{-4x+24}{x(x^2-36)}=0. $$
Отсюда
$$ -4x+24=0 \Rightarrow x=6. $$
Но $x=6$ не входит в ОДЗ, значит решений нет.
$$\frac{1}{(x+5)^2}-\frac{2}{x^2-25}=\frac{3}{(x-5)^2}$$
ОДЗ:
$$x\neq -5,\; x\neq 5.$$
Так как $$x^2-25=(x-5)(x+5),$$ получаем:
$$ \frac{1}{(x+5)^2}-\frac{2}{(x-5)(x+5)}-\frac{3}{(x-5)^2}=0. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(x-5)^2-2(x-5)(x+5)-3(x+5)^2}{(x-5)^2(x+5)^2}=0. $$
Числитель:
$$ (x-5)^2-2(x-5)(x+5)-3(x+5)^2 $$
$$ =x^2-10x+25-2(x^2-25)-3(x^2+10x+25) $$
$$ =-4x^2-40x=-4x(x+10). $$
Тогда
$$ \frac{-4x(x+10)}{(x-5)^2(x+5)^2}=0. $$
Отсюда
$$ x=0 \quad \text{или} \quad x=-10. $$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
$$\frac{2}{2x+3}-\frac{x-5}{2x^2-3x}=\frac{2x+11}{4x^2-9}$$
ОДЗ:
$$2x+3\neq 0,\; 2x-3\neq 0,\; x\neq 0,$$
то есть
$$x\neq -\frac{3}{2},\; x\neq \frac{3}{2},\; x\neq 0.$$
Разложим знаменатели:
$$ 2x^2-3x=x(2x-3), \qquad 4x^2-9=(2x-3)(2x+3). $$
Тогда
$$ \frac{2}{2x+3}-\frac{x-5}{x(2x-3)}-\frac{2x+11}{(2x-3)(2x+3)}=0. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2x(2x-3)-(x-5)(2x+3)-x(2x+11)}{x(2x-3)(2x+3)}=0. $$
Числитель:
$$ 2x(2x-3)-(x-5)(2x+3)-x(2x+11) $$
$$ =4x^2-6x-(2x^2-7x-15)-(2x^2+11x) $$
$$ =-10x+15. $$
Получаем:
$$ \frac{-10x+15}{x(2x-3)(2x+3)}=0. $$
Тогда
$$ -10x+15=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}. $$
Но это значение не входит в ОДЗ, значит решений нет.