Задание 10 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (x-y/(y-1))/(y-x/(x-1));
2) ((a-3)/a+9/(a-3))/((a+3)/a-3/(a+3)).

1) Преобразуем деление дробей в умножение на обратную дробь:

$$ \frac{x-\frac{y}{y-1}}{y-\frac{x}{x-1}} = \left(x-\frac{y}{y-1}\right):\left(y-\frac{x}{x-1}\right) $$

$$ x-\frac{y}{y-1}=\frac{x(y-1)-y}{y-1}=\frac{xy-x-y}{y-1} $$

$$ y-\frac{x}{x-1}=\frac{y(x-1)-x}{x-1}=\frac{xy-y-x}{x-1} $$

Тогда

$$ \frac{xy-x-y}{y-1}:\frac{xy-y-x}{x-1} = \frac{xy-x-y}{y-1}\cdot\frac{x-1}{xy-y-x} $$

Заметим, что

$$ xy-x-y=(x-1)(y-1)-1,\qquad xy-y-x=(x-1)(y-1)-1 $$

поэтому выражение сокращается до

$$ \frac{x-1}{y-1} $$

2) Аналогично:

$$ \frac{\frac{a-3}{a}+\frac{9}{a-3}}{\frac{a+3}{a}-\frac{3}{a+3}} = \left(\frac{a-3}{a}+\frac{9}{a-3}\right):\left(\frac{a+3}{a}-\frac{3}{a+3}\right) $$

$$ \frac{a-3}{a}+\frac{9}{a-3} = \frac{(a-3)^2+9a}{a(a-3)} = \frac{a^2-6a+9+9a}{a(a-3)} = \frac{a^2+3a+9}{a(a-3)} $$

$$ \frac{a+3}{a}-\frac{3}{a+3} = \frac{(a+3)^2-3a}{a(a+3)} = \frac{a^2+6a+9-3a}{a(a+3)} = \frac{a^2+3a+9}{a(a+3)} $$

Тогда

$$ \frac{a^2+3a+9}{a(a-3)}:\frac{a^2+3a+9}{a(a+3)} = \frac{a^2+3a+9}{a(a-3)}\cdot\frac{a(a+3)}{a^2+3a+9} =1 $$

Ответ

1) $$\frac{x-1}{y-1}$$

2) $$1$$