Упр.959 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 2/x + 2 > 0;
2) (x + 2)^2 > 0;
3) (x + 2)^2 <= 0; 4) (x + 2)/(x + 2) > 0;
5) (x + 2)/(x + 2) >= 2/3;
6) ((x + 2)/(x — 2))^2 > 0;
7) ((x + 2)/(x — 2))^2 >= 0;
8) x + 1/x^2 < 1/x^2 + 2; 9) |x| >= -x^2;
10) |x| > -x^2;
11) |x| > x;
12) |x| >= -x.

1. $$\frac{2}{x^2}+2>0$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то $$\frac{2}{x^2}>0$$. Следовательно, неравенство верно при всех $$x\ne 0$$.

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

2. $$\left(x+2\right)^2>0$$

   Квадрат числа положителен при всех значениях, кроме случая, когда он равен нулю:

   $$x+2\ne 0,\quad x\ne -2.$$

   Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$.

3. $$\left(x+2\right)^2\le 0$$

   Квадрат числа неотрицателен, значит неравенство выполняется только при

   $$x+2=0,\quad x=-2.$$

   Ответ: $$\{-2\}$$.

4. $$\frac{x+2}{x+2}>0$$

   При $$x\ne -2$$ дробь равна $$1$$, а $$1>0$$.

   Но $$x=-2$$ не входит в область определения.

   Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$.

5. $$\frac{x+2}{x+2}\ge \frac{2}{3}$$

   При $$x\ne -2$$ левая часть равна $$1$$, а $$1\ge \frac{2}{3}$$.

   Значит, нужно только исключить $$x=-2$$.

   Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$.

6. $$\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2>0$$

   Квадрат дроби положителен, если дробь определена и не равна нулю:

   $$x+2\ne 0,\quad x-2\ne 0.$$

   То есть $$x\ne -2$$ и $$x\ne 2$$.

   Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$.

7. $$\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2\ge 0$$

   Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому нужно лишь, чтобы выражение было определено:

   $$x-2\ne 0,\quad x\ne 2.$$

   Ответ: $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$.

8. $$x+\frac{1}{x^2}<\frac{1}{x^2}+2$$

   Сократим одинаковые слагаемые:

   $$x<2.$$

   При этом $$x\ne 0$$, так как $$x^2$$ стоит в знаменателе.

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;2)$$.

9. $$|x|\ge -x^2$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$|x|+x^2\ge 0.$$

   Так как $$|x|\ge 0$$ и $$x^2\ge 0$$ при любом $$x$$, неравенство верно для всех действительных чисел.

   Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$.

10. $$|x|>-x^2$$

    Перенесём всё в одну сторону:

    $$|x|+x^2>0.$$

    Сумма двух неотрицательных чисел положительна при всех $$x\ne 0$$.

    Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

11. $$|x|>x$$

    Если $$x<0$$, то $$|x|=-x>x$$. Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, и неравенство не выполняется.

    Ответ: $$(-\infty;0)$$.

12. $$|x|\ge -x$$

    Перенесём всё в одну сторону:

    $$|x|+x\ge 0.$$

    При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда $$2x\ge 0$$. При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, тогда $$0\ge 0$$.

    Значит, неравенство верно при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

    Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$.