Упр.947 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Докажите, что для нечётных чисел a, b, c, d, e, f не может выполняться равенство 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f = 1.

Подробный ответ

Предположим, что для нечётных чисел $$a, b, c, d, e, f$$ выполняется равенство

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}=1.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{bcdef+acdef+abdef+abcef+abcdf+abcde}{abcdef}=1.$$

Так как числа $$a, b, c, d, e, f$$ нечётные, то их произведение $$abcdef$$ — нечётное число.

Каждое слагаемое в числителе — произведение пяти нечётных чисел, значит, оно тоже нечётное. Сумма шести нечётных чисел — чётное число, следовательно, числитель чётный.

Получаем, что в дроби числитель чётный, а знаменатель нечётный. Такая дробь не может быть равна $$1$$, потому что $$1=\frac{1}{1}$$, и числитель и знаменатель у неё одинаковой чётности.

Противоречие. Значит, равенство

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}=1$$

для нечётных чисел $$a, b, c, d, e, f$$ невозможно.