Упр.946 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 4x + 6 = 2x — 3 и 4x + 3 = 2x — 6;
2) 8x — 4 = 0 и 2x — 1 = 0;
3) x^2 + 2x — 3 = 0 и x^2 + x = 3 — x;
4) (x^2 — 1)/(x + 1) = 0 и x^2 — 1 = 0;
5) (x^2 — 1)/(x + 1) = 0 и x — 1 = 0;
6) x^2 + 1 = 0 и 0x = 5?

Подробный ответ

Два уравнения равносильны, если они имеют одни и те же корни или если каждое из них не имеет корней.

$$4x+6=2x-3$$
$$4x+3=2x-6$$
Во втором уравнении, приведя подобные слагаемые, получаем:
$$4x+6=2x-3.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
$$8x-4=0$$
Разделим обе части на $$4$$:
$$2x-1=0.$$
Второе уравнение уже имеет вид $$2x-1=0$$.
Следовательно, уравнения равносильны.
$$x^2+2x-3=0$$
$$x^2+x=3-x$$
Перенесём всё в левую часть второго уравнения:
$$x^2+x-3+x=0$$
$$x^2+2x-3=0.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
$$\frac{x^2-1}{x+1}=0$$
Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:
$$x^2-1=0,\quad x+1\ne 0.$$
Тогда
$$x^2=1,\quad x=\pm 1,\quad x\ne -1,$$
откуда $$x=1.$$
Во втором уравнении:
$$x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Корни не совпадают, значит, уравнения неравносильны.
$$\frac{x^2-1}{x+1}=0$$
$$x-1=0$$
Первое уравнение решается так же:
$$x^2-1=0,\quad x+1\ne 0$$
$$x^2=1,\quad x=\pm 1,\quad x\ne -1,$$
значит, $$x=1.$$
Во втором уравнении:
$$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
$$x^2+1=0$$
$$0x=5$$
Первое уравнение не имеет корней, так как
$$x^2=-1$$
невозможно для действительных чисел.
Второе уравнение также не имеет корней, так как
$$0x=5$$
не имеет решений.
Следовательно, уравнения равносильны.