Упр.937 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) a^2 + a > b^2 + b;
2) a^2 — a > b^2 — b;
3) 2 — a^2 < 2 - b^2; 4) a + 1/a > b + 1/b? Автобус должен был проехать 255 км. Проехав 7/17 пути, он остановился на 1 ч, а затем продолжил движение со скоростью на 5 км/ч меньше начальной. Найдите начальную скорость автобуса, если в пункт назначения он прибыл через 9 ч после выезда.

Так как $$b>0$$ и $$a>b$$, то $$0<b<a$$.

1. Проверим неравенство $$a^2+a>b^2+b$$:

   $$a^2+a-b^2-b>0$$
   $$$(a^2-b^2)+(a-b)>0$$
   $$$(a-b)(a+b)+(a-b)>0$$
   $$$(a-b)(a+b+1)>0$$

   Так как $$a-b>0$$ и $$a+b+1>0$$, неравенство верно при всех указанных значениях $$a$$ и $$b$$.

2. Проверим неравенство $$a^2-a>b^2-b$$:

   $$a^2-a-b^2+b>0$$
   $$$(a^2-b^2)-(a-b)>0$$
   $$$(a-b)(a+b)-(a-b)>0$$
   $$$(a-b)(a+b-1)>0$$

   Так как $$a-b>0$$, но $$a+b-1>0$$ не при всех значениях $$a$$ и $$b$$, неравенство не является верным при всех указанных значениях.

3. Проверим неравенство $$2-a^2<2-b^2$$:

   $$2-a^2-2+b^2<0$$
   $$b^2-a^2<0$$
   $$a^2-b^2>0$$
   $$$(a-b)(a+b)>0$$

   Так как $$a-b>0$$ и $$a+b>0$$, неравенство верно при всех указанных значениях $$a$$ и $$b$$.

4. Проверим неравенство $$a+\frac{1}{a}>b+\frac{1}{b}$$:

   $$a+\frac{1}{a}-b-\frac{1}{b}>0$$
   $$\left(a-b\right)+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)>0$$
   $$\left(a-b\right)-\frac{a-b}{ab}>0$$
   $$$(a-b)\left(1-\frac{1}{ab}\right)>0$$
   $$$(a-b)(ab-1)>0$$

   Так как $$a-b>0$$, но $$ab-1>0$$ не при всех значениях $$a$$ и $$b$$, неравенство не является верным при всех указанных значениях.

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) нет.

Пусть начальная скорость автобуса равна $$x$$ км/ч. Тогда после остановки его скорость стала $$x-5$$ км/ч.

До остановки автобус проехал $$255\cdot \frac{7}{17}=105$$ км, на это он затратил $$\frac{105}{x}$$ ч. После остановки он проехал $$255-105=150$$ км, на это затратил $$\frac{150}{x-5}$$ ч.

По условию, с учётом остановки на 1 ч, весь путь занял 9 ч, значит:

$$\frac{105}{x}+1+\frac{150}{x-5}=9$$
$$\frac{105}{x}+\frac{150}{x-5}=8$$
$$105(x-5)+150x=8x(x-5)$$
$$105x-525+150x=8x^2-40x$$
$$8x^2-295x+525=0$$

Найдём корни:

$$D=295^2-4\cdot 8\cdot 525=87025-16800=70225$$
$$\sqrt{D}=265$$
$$x=\frac{295\pm 265}{16}$$

$$x_1=\frac{30}{16}=\frac{15}{8}$$
$$x_2=\frac{560}{16}=35$$

Значение $$x=\frac{15}{8}$$ не подходит, так как тогда $$x-5<0$$. Следовательно, начальная скорость автобуса равна $$35$$ км/ч.

Ответ: 35 км/ч.