Упр.936 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Докажите, что если 1/a > 1/b > 0, то a < b. При каком значении а произведение корней уравнения x2 + (а + 9)x + а2 + 2а = 0 равно 15?
1) Если $$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0,$$ то числа $$a$$ и $$b$$ положительны: $$a>0$$ и $$b>0$$.
Умножим обе части неравенства $$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$ на положительное число $$ab$$:
$$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$
$$b>a$$
Следовательно, $$a<b$$. Что и требовалось доказать.
2) Пусть корни уравнения $$x^2+(a+9)x+a^2+2a=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета
$$x_1x_2=a^2+2a.$$
По условию произведение корней равно $$15$$, значит
$$a^2+2a=15$$
$$a^2+2a-15=0$$
$$ (a+5)(a-3)=0.$$
Отсюда
$$a=-5 \text{ или } a=3.$$
Проверим, при каком значении $$a$$ уравнение имеет действительные корни.
Для $$a=-5$$:
$$D=(a+9)^2-4(a^2+2a)=4^2-4\cdot 15=16-60=-44<0,$$
значит, корней нет.
Для $$a=3$$:
$$D=(3+9)^2-4(3^2+2\cdot 3)=144-4\cdot 15=84>0,$$
уравнение имеет корни.
Ответ
$$a<b.$$
$$a=3.$$
