Упр.934 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x2 + bх — 6 = 0;
2) x2 + bх + 21 = 0.

Докажем неравенство для выпуклого четырёхугольника $ABCD$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Тогда в треугольниках получаем:

$$AO+OB>AB,$$
$$OC+OD>CD,$$
$$OB+OC>BC,$$
$$AO+OD>AD.$$

Сложим первые два неравенства:

$$AO+OB+OC+OD>AB+CD,$$
$$(AO+OC)+(OB+OD)>AB+CD,$$
$$AC+BD>AB+CD.$$

Сложим третье и четвёртое неравенства:

$$OB+OC+AO+OD>BC+AD,$$
$$(OB+OD)+(OC+AO)>BC+AD,$$
$$BD+AC>BC+AD.$$

Следовательно,

$$AB+CD<AC+BD,$$
$$AD+BC<AC+BD.$$

Значит, сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы его диагоналей.

1) Для уравнения $$x^2+bx-6=0$$ по теореме Виета:

$$x_1x_2=-6,\qquad x_1+x_2=-b.$$

Подходящие целые пары корней для числа $-6$:

$$(1,-6),\ (-1,6),\ (3,-2),\ (-3,2).$$

Тогда

$$b=-(1+(-6))=5,$$
$$b=-((-1)+6)=-5,$$
$$b=-(3+(-2))=-1,$$
$$b=-((-3)+2)=1.$$

Значит,

$$b=\pm 5,\ \pm 1.$$

2) Для уравнения $$x^2+bx+21=0$$ по теореме Виета:

$$x_1x_2=21,\qquad x_1+x_2=-b.$$

Подходящие целые пары корней для числа $21$:

$$(1,21),\ (3,7),\ (-1,-21),\ (-3,-7).$$

Тогда

$$b=-(1+21)=-22,$$
$$b=-(3+7)=-10,$$
$$b=-((-1)+(-21))=22,$$
$$b=-((-3)+(-7))=10.$$

Значит,

$$b=\pm 10,\ \pm 22.$$

Ответ

Сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы его диагоналей.

1) $$b=\pm 1,\ \pm 5.$$

2) $$b=\pm 10,\ \pm 22.$$