Упр.933 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) если число m является корнем квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, то число —m является корнем уравнения ах2 — bх + с = 0;
2) если число m является корнем квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, где с не= 0, то число 1/m является корнем уравнения сх2 + bх + а = 0?

Обозначим стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ через $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, а его диагонали — через $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольники $ABC$, $ACD$, $BCD$ и $ABD$. По неравенству треугольника имеем:

$$AB+BC>AC,$$
$$AD+CD>AC,$$
$$BC+CD>BD,$$
$$AB+AD>BD.$$

Сложим первые два неравенства:

$$AB+BC+AD+CD>2AC.$$

Но $$AB+BC+CD+DA=P,$$ где $P$ — полупериметр четырёхугольника, значит

$$P>2AC,$$
$$AC<\frac{P}{2}.$$

Аналогично, сложив третье и четвёртое неравенства, получаем:

$$AB+BC+CD+DA>2BD,$$
$$P>2BD,$$
$$BD<\frac{P}{2}.$$

Следовательно, каждая диагональ выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра.

1) Пусть $$m$$ — корень уравнения $$ax^2+bx+c=0.$$ Тогда

$$am^2+bm+c=0.$$

Проверим число $$-m$$ в уравнении $$ax^2-bx+c=0$$:

$$a(-m)^2-b(-m)+c=am^2+bm+c=0.$$

Значит, $$-m$$ действительно является корнем этого уравнения. Утверждение верно.

2) Пусть $$m$$ — корень уравнения $$ax^2+bx+c=0,$$ где $$c\ne 0.$$ Тогда

$$am^2+bm+c=0.$$

Так как $$c\ne 0,$$ то $$m\ne 0.$$ Разделим равенство на $$m^2$$:

$$a+\frac{b}{m}+\frac{c}{m^2}=0.$$

Умножим на $$m^2$$ и рассмотрим число $$\frac{1}{m}$$ в уравнении $$cx^2+bx+a=0$$:

$$c\left(\frac{1}{m}\right)^2+b\left(\frac{1}{m}\right)+a=0.$$

Следовательно, $$\frac{1}{m}$$ является корнем уравнения $$cx^2+bx+a=0.$$ Утверждение верно.

Ответ

Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра. В обоих пунктах утверждения верны.