Упр.932 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Докажите, что периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей. При каких значениях a уравнение (x2-2ax+3)/(x-2) = 0 имеет единственный корень?

Рассмотрим произвольный четырёхугольник $$ABCD$$ и его диагонали $$AC$$ и $$BD$$.

По неравенству треугольника:

$$AB+BC>AC,$$
$$BC+CD>BD,$$
$$CD+DA>AC,$$
$$DA+AB>BD.$$

Сложим эти неравенства:

$$
(AB+BC)+(BC+CD)+(CD+DA)+(DA+AB) > AC+BD+AC+BD
$$

$$
2(AB+BC+CD+DA) > 2(AC+BD)
$$

$$
AB+BC+CD+DA > AC+BD.
$$

Значит, периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей.

Теперь решим уравнение

$$
\frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0,\qquad x\ne 2.
$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

$$
x^2-2ax+3=0.
$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю:

$$
D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 3=4a^2-12.
$$

$$
4a^2-12=0
$$

$$
a^2=3
$$

$$
a=\pm\sqrt{3}.
$$

При этих значениях уравнение имеет один корень, и он не равен $$2$$.

Ответ

Периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей. Уравнение имеет единственный корень при $$a=\pm\sqrt{3}$$.