Упр.931 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) 5^17 и 7^14; 2) 0,4^12 и 0,3^8. Решите уравнение:
1) (x-1)/(x+5) + (x+5)/(x-1) = 10/3;
2) (x2-3x+6)/x + 2x/(x2-3x+6) = 3;
1) Сравним числа, представив показатели в удобном виде:
$$5^{17} > 7^{14}$$
так как
$$5^{17} = 5\cdot (5^2)^8,\qquad 7^{14} = (7^2)^7,$$
и при сравнении получаем
$$51^7 > 49^7,$$
значит
$$5^{17} > 7^{14}.$$
Для второго сравнения:
$$0{,}4^{12} = (0{,}4^3)^4,\qquad 0{,}3^8 = (0{,}3^2)^4.$$
Так как
$$0{,}4^3 = 0{,}064,\qquad 0{,}3^2 = 0{,}09,$$
то
$$0{,}064^4 < 0{,}09^4,$$
следовательно,
$$0{,}4^{12} < 0{,}3^8.$$
2) Решим уравнение
$$\frac{x-1}{x+5}+\frac{x+5}{x-1}=\frac{10}{3}.$$
ОДЗ: $$x\ne -5,\; x\ne 1.$$
Сделаем замену:
$$\frac{x-1}{x+5}=y.$$
Тогда
$$y+\frac{1}{y}=\frac{10}{3}.$$
Умножим на $$3y$$:
$$3y^2-10y+3=0.$$
$$D=100-36=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$
Получаем:
$$y_1=3,\qquad y_2=\frac{1}{3}.$$
1) Если $$\frac{x-1}{x+5}=3,$$ то
$$x-1=3(x+5),$$
$$x-1=3x+15,$$
$$-2x=16,$$
$$x=-8.$$
2) Если $$\frac{x-1}{x+5}=\frac{1}{3},$$ то
$$3(x-1)=x+5,$$
$$3x-3=x+5,$$
$$2x=8,$$
$$x=4.$$
3) Решим уравнение
$$\frac{x^2-3x+6}{x}+\frac{2x}{x^2-3x+6}=3.$$
ОДЗ: $$x\ne 0.$$
Сделаем замену:
$$\frac{x^2-3x+6}{x}=y.$$
Тогда
$$y+\frac{2}{y}=3.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-3y+2=0,$$
$$y_1=2,\qquad y_2=1.$$
1) Если $$\frac{x^2-3x+6}{x}=2,$$ то
$$x^2-3x+6=2x,$$
$$x^2-5x+6=0,$$
$$x=2,\; x=3.$$
2) Если $$\frac{x^2-3x+6}{x}=1,$$ то
$$x^2-3x+6=x,$$
$$x^2-4x+6=0.$$
$$D=16-24=-8<0,$$
корней нет.
4) Решим уравнение
$$\frac{x^2}{(3x-1)^2}-\frac{4x}{3x-1}-5=0.$$
ОДЗ: $$x\ne \frac{1}{3}.$$
Сделаем замену:
$$\frac{x}{3x-1}=y.$$
Тогда
$$y^2-4y-5=0.$$
$$y_1=5,\qquad y_2=-1.$$
1) Если $$\frac{x}{3x-1}=5,$$ то
$$x=5(3x-1),$$
$$x=15x-5,$$
$$-14x=-5,$$
$$x=\frac{5}{14}.$$
2) Если $$\frac{x}{3x-1}=-1,$$ то
$$x=-(3x-1),$$
$$x=-3x+1,$$
$$4x=1,$$
$$x=\frac{1}{4}.$$
5) Решим уравнение
$$\frac{24}{x^2+2x-8}-\frac{15}{x^2+2x-3}=2.$$
Сделаем замену:
$$x^2+2x=y.$$
Тогда
$$\frac{24}{y-8}-\frac{15}{y-3}=2.$$
Умножим на $$(y-8)(y-3)$$:
$$24(y-3)-15(y-8)-2(y-8)(y-3)=0.$$
$$24y-72-15y+120-2(y^2-11y+24)=0,$$
$$9y+48-2y^2+22y-48=0,$$
$$-2y^2+31y=0,$$
$$y(31-2y)=0.$$
Отсюда
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=\frac{31}{2}.$$
1) Если $$x^2+2x=0,$$ то
$$x(x+2)=0,$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-2.$$
Но $$x=0$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=-2.$$
2) Если $$x^2+2x=\frac{31}{2},$$ то
$$2x^2+4x-31=0.$$
$$D=16+248=264=4\cdot 66,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{66}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{66}}{2}.$$
Ответ
1) $$5^{17} > 7^{14},\quad 0{,}4^{12} < 0{,}3^8.$$
2) $$x=-8,\; x=4.$$
3) $$x=2,\; x=3.$$
4) $$x=\frac{1}{4},\; x=\frac{5}{14}.$$
5) $$x=-2,\; x=\frac{-2-\sqrt{66}}{2},\; x=\frac{-2+\sqrt{66}}{2}.$$
