Упр.929 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Известно, что a > 5 и b < 2. Докажите, что 6a - 7b > 16. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 1 меньше соответствующих корней уравнения x2 — Зx — 5 = 0.
1) Так как $$a>5$$ и $$b<2$$, то
$$6a>6\cdot 5=30,$$
$$7b<7\cdot 2=14,$$
значит, $$-7b>-14.$$
Складываем полученные неравенства:
$$6a-7b>30-14=16.$$
Следовательно, $$6a-7b>16$$, что и требовалось доказать.
2) Пусть корни уравнения $$x^2-3x-5=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:
$$x_1+x_2=3,\qquad x_1x_2=-5.$$
Корни нового уравнения на 1 меньше, значит, они равны $$x_1-1$$ и $$x_2-1$$.
Их сумма:
$$(x_1-1)+(x_2-1)=x_1+x_2-2=3-2=1.$$
Их произведение:
$$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=-5-3+1=-7.$$
Тогда искомое квадратное уравнение:
$$x^2-x-7=0.$$
Ответ
$$6a-7b>16; \quad x^2-x-7=0.$$
