Упр.928 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Известно, что a > 3 и b > -2. Докажите, что 5a + 4b > 7. Корни x1 и x2 уравнения x^2 — bх + 20 = 0 удовлетворяют условию x1 = 5х2. Найдите значение b и корни уравнения.

Подробный ответ

Так как $$a>3,$$ то $$5a>15.$$

Так как $$b>-2,$$ то $$4b>-8.$$

Складываем неравенства:

$$5a+4b>15-8=7.$$

Следовательно, $$5a+4b>7,$$ что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим уравнение $$x^2-bx+20=0.$$ По теореме Виета:

$$x_1x_2=20,\qquad x_1+x_2=b.$$

По условию $$x_1=5x_2.$$ Тогда

$$5x_2\cdot x_2=20,$$

$$5x_2^2=20,$$

$$x_2^2=4,$$

$$x_2=\pm 2.$$

Если $$x_2=2,$$ то $$x_1=10,$$ и

$$b=x_1+x_2=10+2=12.$$

Если $$x_2=-2,$$ то $$x_1=-10,$$ и

$$b=x_1+x_2=-10+(-2)=-12.$$

Проверим оба случая: при $$b=12$$ корни уравнения $$x^2-12x+20=0$$ равны $$2$$ и $$10$$; при $$b=-12$$ корни равны $$-2$$ и $$-10$$. В обоих случаях условие $$x_1=5x_2$$ выполняется.