Упр.922 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (a^2 + b^2)/(2a^2 + 2ab) + b/(a + b);
2) (a^2 + 9)/(a^2 — 9) — a/(a + 3);
3) (c + 1)/3c : (c^2 — 1)/6c^2;
4) (m^2 + 2mn + n^2)/(m^2 — n^2) : (m + n). Решите уравнение:
1) x2 — 6x + 2/(x-2) = 2/(x-2) — 8;
2) (корень x — 5)(15×2 — 7x — 2) = 0;
3) (x2 + 6x)(корень x — 4)(x2 — 8x — 48) = 0.

1. $$\frac{a^2+b^2}{2a^2+2ab}+\frac{b}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{2a(a+b)}+\frac{b}{a+b}$$

   $$=\frac{a^2+b^2}{2a(a+b)}+\frac{2ab}{2a(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2}{2a(a+b)}$$

   $$=\frac{(a+b)^2}{2a(a+b)}=\frac{a+b}{2a}.$$

2. $$\frac{a^2+9}{a^2-9}-\frac{a}{a+3}=\frac{a^2+9}{(a-3)(a+3)}-\frac{a(a-3)}{(a-3)(a+3)}$$

   $$=\frac{a^2+9-a(a-3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{a^2+9-a^2+3a}{(a-3)(a+3)}$$

   $$=\frac{3a+9}{(a-3)(a+3)}=\frac{3(a+3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{3}{a-3}.$$

3. $$\frac{c+1}{3c}:\frac{c^2-1}{6c^2}=\frac{c+1}{3c}\cdot\frac{6c^2}{c^2-1}$$

   $$=\frac{(c+1)\cdot 6c^2}{3c(c^2-1)}=\frac{2c(c+1)}{(c-1)(c+1)}=\frac{2c}{c-1}.$$

4. $$\frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2}:(m+n)=\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}\cdot\frac{1}{m+n}$$

   $$=\frac{m+n}{(m-n)(m+n)}\cdot\frac{1}{m+n}=\frac{1}{m-n}.$$

Ответ

1. $$\frac{a+b}{2a}$$
2. $$\frac{3}{a-3}$$
3. $$\frac{2c}{c-1}$$
4. $$\frac{1}{m-n}$$

1. $$x^2-6x+\frac{2}{x-2}=\frac{2}{x-2}-8,\qquad x\ne 2$$

   $$x^2-6x+8=0$$

   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,$$
   значит,
   $$x=2 \text{ или } x=4.$$

   Так как $$x\ne 2,$$ получаем $$x=4.$$

2. $$(\sqrt{x}-5)(15x^2-7x-2)=0,\qquad x\ge 0$$

   $$\sqrt{x}-5=0 \Rightarrow x=25.$$

   $$15x^2-7x-2=0$$

   $$D=(-7)^2-4\cdot 15\cdot(-2)=49+120=169,$$
   $$\sqrt{D}=13.$$

   $$x=\frac{7\pm 13}{30}$$

   $$x_1=\frac{20}{30}=\frac{2}{3},\qquad x_2=\frac{-6}{30}=-\frac{1}{5}.$$

   Значение $$x=-\frac{1}{5}$$ не подходит, так как $$x\ge 0.$$

3. $$(x^2+6x)(\sqrt{x}-4)(x^2-8x-48)=0,\qquad x\ge 0$$

   $$x^2+6x=0 \Rightarrow x(x+6)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-6.$$

   Так как $$x\ge 0,$$ получаем $$x=0.$$

   $$\sqrt{x}-4=0 \Rightarrow \sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16.$$

   $$x^2-8x-48=0$$

   $$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-48)=64+192=256,$$
   $$\sqrt{D}=16.$$

   $$x=\frac{8\pm 16}{2}$$

   $$x_1=12,\qquad x_2=-4.$$

   Значение $$x=-4$$ не подходит, так как $$x\ge 0.$$

Ответ

1. $$x=4$$
2. $$x=25,\ \frac{2}{3}$$
3. $$x=0,\ 12,\ 16$$