Упр.921 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 18; 2) 22; 3) 24; 4) 30? Решите уравнение:
1) |x2 — 2x — 6| = 6;
2) x2 — 6|x| — 16 = 0;
3) x|x| + 2x — 15 = 0;
4) ||x2 — 6x — 4| — 3| = 1.

Подробный ответ

Пусть у Михаила $$x$$ марок. Тогда у Петра $$2x$$ марок, а у Дмитрия $$4x$$ марок.
Значит, число марок у Дмитрия должно делиться на $$4$$. Из данных чисел подходит только $$24$$.
$$|x^2-2x-6|=6$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2-2x-6=6$$
$$x^2-2x-12=0$$
$$D=4+48=52$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2}=1\pm\sqrt{13}$$
$$x^2-2x-6=-6$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0,\; x=2$$
$$x^2-6|x|-16=0$$
Пусть $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x^2=t^2$$. Получаем:
$$t^2-6t-16=0$$
$$D=36+64=100$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 10}{2}$$
$$t_1=-2 \;(\text{не подходит}), \quad t_2=8$$
Значит, $$|x|=8$$, откуда $$x=\pm 8$$.
$$x|x|+2x-15=0$$
Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$:
$$x^2+2x-15=0$$
$$D=4+60=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$
$$x_1=-5 \;(\text{не подходит}), \quad x_2=3$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$-x^2+2x-15=0$$
$$x^2-2x+15=0$$
$$D=4-60<0$$
Корней нет.
Следовательно, $$x=3$$.
$$\left||x^2-6x-4|-3\right|=1$$
Рассмотрим два случая:
1) $$|x^2-6x-4|-3=1$$, тогда
$$|x^2-6x-4|=4$$
$$x^2-6x-4=4 \quad \text{или} \quad x^2-6x-4=-4$$
$$x^2-6x-8=0 \Rightarrow x=3\pm\sqrt{17}$$
$$x^2-6x=0 \Rightarrow x=0,\; x=6$$
2) $$|x^2-6x-4|-3=-1$$, тогда
$$|x^2-6x-4|=2$$
$$x^2-6x-4=2 \quad \text{или} \quad x^2-6x-4=-2$$
$$x^2-6x-6=0 \Rightarrow x=3\pm\sqrt{15}$$
$$x^2-6x-2=0 \Rightarrow x=3\pm\sqrt{11}$$