Упр.911 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1/(корень 3 + корень 2) + 1/(корень 8 + корень 5) + 1/(корень 11 + корень 8) + … + 1/(корень 50 + корень 47).

Подробный ответ

Так как $$a>b,$$ то при прибавлении и вычитании одних и тех же чисел получаем:

$$a+7>a+4>b>b-2>b-3.$$

Значит, в порядке убывания числа располагаются так:

$$a+7,\ a+4,\ b,\ b-2,\ b-3.$$

Упростим выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}.$$

Рационализуем знаменатель каждого слагаемого:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3},$$
$$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{8-5}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3},$$
$$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{11-8}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3},$$
$$\dots$$
$$\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{50-47}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3}.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3}+\dots+\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3}$$
$$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{5}+\sqrt{11}-\sqrt{8}+\dots+\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3}.$$

Сокращаются все промежуточные слагаемые, остаётся:

$$\frac{\sqrt{50}-\sqrt{2}}{3}.$$

Так как $$\sqrt{50}=5\sqrt{2},$$ то

$$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$$