Упр.907 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) b + 2;
2) 1 — b;
3) b — 2;
4) (b — 1)(b — 3);
5) (b + 2)(b — 4)^2;
6) (b — 3)(b + 3)/(b — 2)^2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) 1/ (корень 6 + корень 2 + 1);
2) 2/ (корень 10 + корень 5 — корень 3).

Из условия $$-2<b<1$$ получаем:

1. $$b+2>0$$;
2. $$1-b>0$$;
3. $$b-2<0$$;
4. $$b-1<0,\quad b-3<0,$$ значит $$\left(b-1\right)\left(b-3\right)>0$$;
5. $$b+2>0,\quad \left(b-4\right)^2>0,$$ значит $$\left(b+2\right)\left(b-4\right)^2>0$$;
6. $$b-3<0,\quad b+3>0,\quad \left(b-2\right)^2>0,$$ значит $$\dfrac{\left(b-3\right)\left(b+3\right)}{\left(b-2\right)^2}<0.$$

Освободимся от иррациональности в знаменателе.

1)

$$
\frac{1}{\sqrt6+\sqrt2+1}
=
\frac{\sqrt6+\sqrt2-1}{(\sqrt6+\sqrt2+1)(\sqrt6+\sqrt2-1)}
=
\frac{\sqrt6+\sqrt2-1}{(\sqrt6+\sqrt2)^2-1}
$$
$$
=
\frac{\sqrt6+\sqrt2-1}{6+2\sqrt{12}+2-1}
=
\frac{\sqrt6+\sqrt2-1}{7+4\sqrt3}
=
\frac{(\sqrt6+\sqrt2-1)(7-4\sqrt3)}{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)}
$$
$$
=
\frac{3\sqrt6-5\sqrt2+4\sqrt3-7}{1}
=
3\sqrt6-5\sqrt2+4\sqrt3-7.
$$

2)

$$
\frac{2}{\sqrt{10}+\sqrt5-\sqrt3}
=
\frac{2(\sqrt{10}+\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt{10}+\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt{10}+\sqrt5+\sqrt3)}
$$
$$
=
\frac{2(\sqrt{10}+\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt{10}+\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2}
=
\frac{2(\sqrt{10}+\sqrt5+\sqrt3)}{10+2\sqrt{50}+5-3}
=
\frac{2(\sqrt{10}+\sqrt5+\sqrt3)}{12+10\sqrt2}
$$
$$
=
\frac{\sqrt{10}+\sqrt5+\sqrt3}{6+5\sqrt2}
=
\frac{(\sqrt{10}+\sqrt5+\sqrt3)(6-5\sqrt2)}{(6+5\sqrt2)(6-5\sqrt2)}
$$
$$
=
\frac{\sqrt{10}-4\sqrt5+6\sqrt3-5\sqrt6}{14}.
$$

Ответ

1) $$b+2>0$$; 2) $$1-b>0$$; 3) $$b-2<0$$; 4) $$\left(b-1\right)\left(b-3\right)>0$$; 5) $$\left(b+2\right)\left(b-4\right)^2>0$$; 6) $$\dfrac{\left(b-3\right)\left(b+3\right)}{\left(b-2\right)^2}<0$$.
1) $$\dfrac{1}{\sqrt6+\sqrt2+1}=3\sqrt6-5\sqrt2+4\sqrt3-7$$;
2) $$\dfrac{2}{\sqrt{10}+\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{10}-4\sqrt5+6\sqrt3-5\sqrt6}{14}$$.