Упр.892 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

(a^2 + 2)/корень из (a^2 + 1) >= 2. Найдите значение корня:
1) корень (75 * 234);
2) корень (2 * 800);
3) корень (1,6 * 12,1);
4) корень (2890 * 2,5).

Подробный ответ

Докажем неравенство:

$$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \ge 2.$$

Так как $$\sqrt{a^2+1} > 0$$ при любых значениях $$a$$, можно умножить обе части неравенства на $$\sqrt{a^2+1}$$:

$$a^2+2 \ge 2\sqrt{a^2+1}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$
(a^2+2)^2 \ge \left(2\sqrt{a^2+1}\right)^2
$$

$$
a^4+4a^2+4 \ge 4(a^2+1)
$$

$$
a^4+4a^2+4 \ge 4a^2+4
$$

$$
a^4 \ge 0.
$$

Это верно при любых значениях $$a$$, значит, исходное неравенство доказано.

Найдём значения корней:

$$\sqrt{75\cdot 234}=\sqrt{25\cdot 3\cdot 2\cdot 9\cdot 13}=\sqrt{5^2\cdot 3^2\cdot 3\cdot 2\cdot 13}=15\sqrt{78}.$$
$$\sqrt{2\cdot 800}=\sqrt{1600}=40.$$
$$\sqrt{1{,}6\cdot 12{,}1}=\sqrt{4\cdot 0{,}4\cdot 121\cdot 0{,}1}=2\cdot 11\sqrt{0{,}04}=22\cdot 0{,}2=4{,}4.$$
$$\sqrt{2890\cdot 2{,}5}=\sqrt{289\cdot 25}=17\cdot 5=85.$$