Упр.89 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один из них догнал бы другого через 3 ч.
Найдите скорость каждого велосипедиста. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:
1) (n+6)/n;
2) (3n2-4n-14)/n;
3) (4n+7)/(2n-3).

Пусть скорость первого велосипедиста равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч.

Так как расстояние между селами равно $$9$$ км, а встретились они через $$20$$ мин $$=\frac13$$ ч, получаем:

$$
\frac13x+\frac13y=9
$$

Умножим на $$3$$:

$$
x+y=27
$$

Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один догнал бы другого через $$3$$ ч. Значит, разность их скоростей равна

$$
\frac{9}{3}=3
$$

то есть

$$
x-y=3
$$

Решим систему:

$$
\begin{cases}
x+y=27 \\
x-y=3
\end{cases}
$$

Сложим уравнения:

$$
2x=30
$$

$$
x=15
$$

Тогда

$$
y=27-15=12
$$

Теперь найдём натуральные значения $$n$$, при которых выражение является целым числом.

1) $$\frac{n+6}{n}=1+\frac{6}{n}$$ — целое число, если $$6$$ делится на $$n$$.

Значит,

$$
n=1,2,3,6
$$

2) $$\frac{3n^2-4n-14}{n}=3n-4-\frac{14}{n}$$ — целое число, если $$14$$ делится на $$n$$.

Значит,

$$
n=1,2,7,14
$$

3) $$\frac{4n+7}{2n-3}=\frac{2(2n-3)+13}{2n-3}=2+\frac{13}{2n-3}$$

Это выражение будет целым числом, если $$2n-3$$ делится на $$13$$. Так как $$n$$ — натуральное число, получаем:

$$
2n-3=1 \quad \text{или} \quad 2n-3=13
$$

Отсюда:

$$
n=2 \quad \text{или} \quad n=8
$$

Итак, для третьего выражения:

$$
n=2,8
$$

Ответ

Скорости велосипедистов: $$15$$ км/ч и $$12$$ км/ч.

1) $$n=1,2,3,6$$; 2) $$n=1,2,7,14$$; 3) $$n=2,8$$.