Упр.887 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (a^2 + b^2)/(a^2 + 1) > 1;
2) (a^2 — b^2)/(b^2 + 1) > -1? Постройте график функции:
1) y = (4x+12)/(x2+3x);
2) y = (32-2×2)/(x3-16x).

1. Проверим неравенство

   $$\frac{a^2+b^2}{a^2+1}>1.$$

   Так как $$a^2+1>0$$ при любых $$a$$, умножим обе части на $$a^2+1$$:

   $$a^2+b^2>a^2+1.$$

   Получаем

   $$b^2>1.$$

   Это не выполняется при любых $$b$$, например при $$b=0$$ получаем $$0>1$$ — неверно. Значит, неравенство не верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.

2. Проверим неравенство

   $$\frac{a^2-b^2}{b^2+1}>-1.$$

   Так как $$b^2+1>0$$ при любых $$b$$, умножим обе части на $$b^2+1$$:

   $$a^2-b^2>-(b^2+1).$$

   Тогда

   $$a^2-b^2+b^2+1>0,$$

   то есть

   $$a^2+1>0.$$

   Это верно при любых $$a$$, значит данное неравенство выполняется при любых $$a$$ и $$b$$.

3. Построим график функции

   $$y=\frac{4x+12}{x^2+3x}.$$

   Разложим на множители:

   $$y=\frac{4(x+3)}{x(x+3)}=\frac{4}{x}, \quad x\ne 0,\ x\ne -3.$$

   Значит, график — гипербола $$y=\frac{4}{x}$$ с выколотой точкой при $$x=-3$$. Координаты этой точки:

   $$y=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}.$$

   Итак, на графике есть асимптоты $$x=0$$ и $$y=0$$, а точка $$\left(-3,-\frac{4}{3}\right)$$ не принадлежит графику.

4. Построим график функции

   $$y=\frac{32-2x^2}{x^3-16x}.$$

   Разложим на множители:

   $$y=\frac{2(16-x^2)}{x(x^2-16)}=\frac{2(4-x)(4+x)}{x(x-4)(x+4)}=-\frac{2}{x}, \quad x\ne 0,\ x\ne \pm 4.$$

   Значит, график — гипербола $$y=-\frac{2}{x}$$ с выколотыми точками при $$x=\pm 4$$. Их координаты:

   $$x=4 \Rightarrow y=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2},$$

   $$x=-4 \Rightarrow y=-\frac{2}{-4}=\frac{1}{2}.$$

   Следовательно, на графике есть асимптоты $$x=0$$ и $$y=0$$, а точки $$\left(4,-\frac{1}{2}\right)$$ и $$\left(-4,\frac{1}{2}\right)$$ не принадлежат графику.

Ответ

1) Нет, не при любых значениях $$a$$ и $$b$$.
2) Да, при любых значениях $$a$$ и $$b$$.
3) $$y=\frac{4}{x},\ x\ne 0,\ x\ne -3$$, выколотая точка $$\left(-3,-\frac{4}{3}\right)$$.
4) $$y=-\frac{2}{x},\ x\ne 0,\ x\ne \pm 4$$, выколотые точки $$\left(-4,\frac{1}{2}\right)$$ и $$\left(4,-\frac{1}{2}\right)$$.