Упр.884 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Как изменится — увеличится или уменьшится — неправильная дробь a/b, а > 0, b > 0, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число? Постройте в одной системе координат графики функций у = 4/x и у = х — 3 и укажите координаты точек их пересечения.
Пусть числитель и знаменатель неправильной дроби $$\frac{a}{b}$$ увеличили на одно и то же число $$x$$. Тогда получим дробь
$$\frac{a+x}{b+x}.$$
Сравним её с исходной:
$$\frac{a+x}{b+x}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+x)-a(b+x)}{b(b+x)}=\frac{ab+bx-ab-ax}{b(b+x)}=\frac{x(b-a)}{b(b+x)}.$$
Так как $$\frac{a}{b}$$ — неправильная дробь, то $$a>b$$, значит $$b-a<0$$. При $$x>0$$ и положительных $$b$$, $$b+x$$ знаменатель дроби положителен, а числитель $$x(b-a)$$ отрицателен. Следовательно,
$$\frac{a+x}{b+x}-\frac{a}{b}<0,$$
то есть
$$\frac{a+x}{b+x}<\frac{a}{b}.$$
Значит, неправильная дробь уменьшится.
Для графиков решим систему:
$$\frac{4}{x}=x-3.$$
Умножим на $$x$$, $$x\neq 0$$:
$$4=x(x-3),$$
$$x^2-3x-4=0,$$
$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0.$$
Отсюда $$x=4$$ или $$x=-1$$.
Найдём соответствующие значения $$y$$:
при $$x=4$$: $$y=4-3=1$$;
при $$x=-1$$: $$y=-1-3=-4$$.
Точки пересечения графиков: $$(-1;\,-4)$$ и $$\left(4;\,1\right)$$.
Ответ
Неправильная дробь уменьшится. Точки пересечения графиков: $$(-1;\,-4)$$ и $$\left(4;\,1\right)$$.
