Упр.883 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Как изменится — увеличится или уменьшится — правильная дробь a/b, а > 0, b > 0, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число? Постройте график функции у = 5/|x|.

Подробный ответ

Пусть числитель и знаменатель правильной дроби $$\frac{a}{b}$$ увеличили на одно и то же число $$x$$. Тогда получилась дробь

$$\frac{a+x}{b+x}.$$

Сравним её с исходной дробью:

$$
\frac{a+x}{b+x}-\frac{a}{b}
=
\frac{b(a+x)-a(b+x)}{b(b+x)}
=
\frac{ab+bx-ab-ax}{b(b+x)}
=
\frac{x(b-a)}{b(b+x)}.
$$

Так как $$\frac{a}{b}$$ — правильная дробь, то $$a<b$$, значит $$b-a>0$$. При $$x>0$$ и $$b>0$$ знаменатель $$b(b+x)>0$$, поэтому

$$\frac{a+x}{b+x}-\frac{a}{b}>0.$$

Следовательно, новая дробь больше исходной, то есть правильная дробь увеличится.

Теперь построим график функции $$y=\frac{5}{|x|}$$.

Так как $$|x|=\begin{cases}x, & x>0,\\ -x, & x<0,\end{cases}$$ то

$$
y=
\begin{cases}
\frac{5}{x}, & x>0,\\
-\frac{5}{x}, & x<0.
\end{cases}
$$

График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $$Oy$$. Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0$$. Для построения можно отметить точки $$\left(1,5\right)$$, $$\left(5,1\right)$$, $$\left(-1,5\right)$$, $$\left(-5,1\right)$$ и провести через них плавные ветви гиперболы.