Упр.880 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 9^(n-1) / 3^(2n-3);
2) (7^(n+1) * 2^(n-1)) / 14^n;
3) (2^(2n-1) * 3^(n+1)) / 12^n;

Сумма квадратов двух чисел $$a$$ и $$b$$ равна $$a^2+b^2$$, а их удвоенное произведение — $$2ab$$.

Рассмотрим разность:

$$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2.$$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то

$$ (a-b)^2 \ge 0, $$

значит,

$$a^2+b^2 \ge 2ab.$$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $$a=b$$.

Сократим дроби:

1. $$
   \frac{9^{n-1}}{3^{2n-3}}
   =\frac{(3^2)^{n-1}}{3^{2n-3}}
   =\frac{3^{2n-2}}{3^{2n-3}}
   =3.
   $$

2. $$
   \frac{7^{n+1}\cdot 2^{n-1}}{14^n}
   =\frac{7^{n+1}\cdot 2^{n-1}}{7^n\cdot 2^n}
   =7\cdot \frac{1}{2}
   =\frac{7}{2}.
   $$

3. $$
   \frac{2^{2n-1}\cdot 3^{n+1}}{12^n}
   =\frac{2^{2n-1}\cdot 3^{n+1}}{(2^2\cdot 3)^n}
   =\frac{2^{2n-1}\cdot 3^{n+1}}{2^{2n}\cdot 3^n}
   =\frac{1}{2}\cdot 3
   =\frac{3}{2}.
   $$

Ответ

$$a^2+b^2 \ge 2ab,$$ равенство при $$a=b$$.

1) $$3$$; 2) $$\frac{7}{2}$$; 3) $$\frac{3}{2}$$.