Упр.879 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) ab(b — a) <= a^3 - b^3, если a >= b;
2) (a — 1)/2 — (a — 2)/3 > 1/2, если a > 2. Выполните действия и результат представьте в стандартном виде:
1) 1,3 * 10^4 + 1,8 * 10^5;
2) 1,5 * 10^2 — 2,8 * 10^-2;
3) 5,6 * 10^3 — 3,2 * 10^2;
4) 4,8 * 10^-3 + 6 * 10^-4.

1. Докажем неравенство:

   $$ab(b-a)\le a^3-b^3,$$ если $$a\ge b.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$ab(b-a)-a^3+b^3\le 0$$

   $$ab^2-a^2b-a^3+b^3\le 0$$

   Сгруппируем:

   $$\bigl(ab^2+b^3\bigr)-\bigl(a^2b+a^3\bigr)\le 0$$

   $$b^2(a+b)-a^2(a+b)\le 0$$

   $$ (a+b)(b^2-a^2)\le 0$$

   $$ (a+b)(b-a)(b+a)\le 0$$

   $$ (a+b)^2(b-a)\le 0.$$

   Так как $$a\ge b,$$ то $$b-a\le 0,$$ а $$ (a+b)^2\ge 0.$$ Следовательно, произведение не положительно:

   $$ (a+b)^2(b-a)\le 0.$$

   Что и требовалось доказать.

2. Докажем неравенство:

   $$\frac{a-1}{2}-\frac{a-2}{3}>\frac12,$$ если $$a>2.$$

   Умножим обе части на $$6$$:

   $$3(a-1)-2(a-2)>3$$

   $$3a-3-2a+4>3$$

   $$a+1>3$$

   $$a>2.$$

   Так как по условию $$a>2,$$ неравенство верно. Что и требовалось доказать.

Выполним действия и представим результат в стандартном виде:

1. $$1{,}3\cdot 10^4+1{,}8\cdot 10^5=10^4\cdot(1{,}3+1{,}8\cdot 10)=10^4\cdot(1{,}3+18)=10^4\cdot 19{,}3=1{,}93\cdot 10^5.$$

2. $$1{,}5\cdot 10^2-2{,}8\cdot 10^{-2}=10^{-2}\cdot(1{,}5\cdot 10^4-2{,}8)=10^{-2}\cdot(15000-2{,}8)=10^{-2}\cdot 14997{,}2=1{,}49972\cdot 10^2.$$

3. $$5{,}6\cdot 10^3-3{,}2\cdot 10^2=10^2\cdot(5{,}6\cdot 10-3{,}2)=10^2\cdot(56-3{,}2)=10^2\cdot 52{,}8=5{,}28\cdot 10^3.$$

4. $$4{,}8\cdot 10^{-3}+6\cdot 10^{-4}=10^{-3}\cdot(4{,}8+6\cdot 10^{-1})=10^{-3}\cdot(4{,}8+0{,}6)=10^{-3}\cdot 5{,}4=5{,}4\cdot 10^{-3}.$$

Ответ

1) $$ab(b-a)\le a^3-b^3$$ при $$a\ge b$$; 2) $$\frac{a-1}{2}-\frac{a-2}{3}>\frac12$$ при $$a>2$$; 1) $$1{,}93\cdot 10^5$$; 2) $$1{,}49972\cdot 10^2$$; 3) $$5{,}28\cdot 10^3$$; 4) $$5{,}4\cdot 10^{-3}$$.