Упр.878 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) a^3 — 6a^2 + a — 6 >= 0, если a >= 6;
2) ab + 1 > a + b, если a > 1 и b > 1;
3) (a + 3)/3 + (3a — 2)/4 < a, если a < -6. Упростите выражение: 1) (а^-5 - 1)(a^-5 + 1) - (а^-5 - 2)2; 2) (y^-2 - x^-2)/(x + y);

1. $$a^3-6a^2+a-6=a^2(a-6)+(a-6)=(a-6)(a^2+1).$$

   Так как $$a\ge 6,$$ то $$a-6\ge 0,$$ а $$a^2+1>0.$$ Следовательно,

   $$ (a-6)(a^2+1)\ge 0. $$

2. $$ab+1-a-b=(ab-a)-(b-1)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1).$$

   Так как $$a>1$$ и $$b>1,$$ то $$a-1>0$$ и $$b-1>0,$$ значит

   $$ (a-1)(b-1)>0. $$

   Следовательно, $$ab+1>a+b.$$

3. $$\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a.$$

   Умножим обе части на $$12$$:

   $$4(a+3)+3(3a-2)<12a$$

   $$4a+12+9a-6<12a$$

   $$a+6<0,$$

   то есть $$a<-6.$$

   При условии $$a<-6$$ неравенство верно.

Ответ

1. $$a^3-6a^2+a-6=(a-6)(a^2+1)\ge 0.$$
2. $$ab+1-a-b=(a-1)(b-1)>0,$$ значит $$ab+1>a+b.$$
3. $$\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a \iff a<-6.$$