Упр.876 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 2a^2 — 8a + 16 > 0;
2) 4b^2 + 4b + 3 > 0;
3) a^2 + ab + b^2 >= 0;
4) (3a + 2)(2a — 4) — (2a — 5)^2 > 3(4a — 12);
5) a(a — 3) > 5(a — 4);
6) (a — b)(a + 5b) <= (2a + b)(a + 4b) + ab. Найдите значение выражения: 1) 25^-3 * 5^8; 2) 64^-3 : 32^-3; 3) 10^-10 : 1000^-3 * (0,001)^-5; 4) ((-27)^-12 * 9^5)/(81^-4 * 3^-7); 5) (15^4 * 5^-6)/(45^-3 * 3^-9); 6) ((0,125^-8 * 16^-7))/32^-2.

1. $$2a^2-8a+16>0$$
   $$2(a^2-4a+8)>0$$
   $$2\bigl((a-2)^2+4\bigr)>0$$
   Так как $$\,(a-2)^2\ge 0,$$ то $$\,(a-2)^2+4>0.$$ Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$.

2. $$4b^2+4b+3>0$$
   $$4b^2+4b+1+2>0$$
   $$\,(2b+1)^2+2>0$$
   Значит, неравенство верно при любых значениях $$b$$.

3. $$a^2+ab+b^2\ge 0$$
   $$a^2+ab+\frac14b^2+\frac34b^2\ge 0$$
   $$\left(a+\frac b2\right)^2+\frac34b^2\ge 0$$
   Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.

4. $$(3a+2)(2a-4)-(2a-5)^2>3(4a-12)$$
   $$6a^2-12a+4a-8-(4a^2-20a+25)>12a-36$$
   $$6a^2-8a-8-4a^2+20a-25-12a+36>0$$
   $$2a^2+3>0$$
   Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$.

5. $$a(a-3)>5(a-4)$$
   $$a^2-3a>5a-20$$
   $$a^2-8a+20>0$$
   $$a^2-8a+16+4>0$$
   $$(a-4)^2+4>0$$
   Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$.

6. $$(a-b)(a+5b)\le (2a+b)(a+4b)+ab$$
   $$a^2+4ab-5b^2\le 2a^2+10ab+4b^2$$
   $$0\le a^2+6ab+9b^2$$
   $$(a+3b)^2\ge 0$$
   Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.

7. $$25^{-3}\cdot 5^8=(5^2)^{-3}\cdot 5^8=5^{-6}\cdot 5^8=5^2=25.$$

8. $$64^{-3}:32^{-3}=(2^6)^{-3}:(2^5)^{-3}=2^{-18}:2^{-15}=2^{-3}=\frac18.$$

9. $$10^{-10}:1000^{-3}\cdot (0{,}001)^{-5}=10^{-10}:(10^3)^{-3}\cdot (10^{-3})^{-5}$$
   $$=10^{-10}:10^{-9}\cdot 10^{15}=10^{-1}\cdot 10^{15}=10^{14}.$$

10. $$\frac{(-27)^{-12}\cdot 9^5}{81^{-4}\cdot 3^{-7}}=\frac{(-3^3)^{-12}\cdot (3^2)^5}{(3^4)^{-4}\cdot 3^{-7}}$$
    $$=\frac{3^{-36}\cdot 3^{10}}{3^{-16}\cdot 3^{-7}}=\frac{3^{-26}}{3^{-23}}=3^{-3}=\frac1{27}.$$

11. $$\frac{15^4\cdot 5^{-6}}{45^{-3}\cdot 3^{-9}}=\frac{(3\cdot 5)^4\cdot 5^{-6}}{(3^2\cdot 5)^{-3}\cdot 3^{-9}}$$
    $$=\frac{3^4\cdot 5^4\cdot 5^{-6}}{3^{-6}\cdot 5^{-3}\cdot 3^{-9}}=\frac{3^4\cdot 5^{-2}}{3^{-15}\cdot 5^{-3}}=3^{19}\cdot 5=15.$$

12. $$\frac{(0{,}125^{-8}\cdot 16^{-7})}{32^{-2}}=\frac{(2^{-3})^{-8}\cdot (2^4)^{-7}}{(2^5)^{-2}}$$
    $$=\frac{2^{24}\cdot 2^{-28}}{2^{-10}}=\frac{2^{-4}}{2^{-10}}=2^6=64.$$

Ответ

1) верно при любых $$a$$; 2) верно при любых $$b$$; 3) верно при любых $$a$$ и $$b$$; 4) верно при любых $$a$$; 5) верно при любых $$a$$; 6) верно при любых $$a$$ и $$b$$; 7) $$25$$; 8) $$\frac18$$; 9) $$10^{14}$$; 10) $$\frac1{27}$$; 11) $$15$$; 12) $$64$$.