Упр.871 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 6; 2) -3; 3)2.
Можно ли по результатам выполненных сравнений утверждать, что при любом значении а значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения? Докажите, что при любом значении а значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения. Для каждого значения а решите уравнение:
1) (x+2)/(x+a) = 0;
2) (x-a)/(x-1) = 0.

1) Сравним значения выражений при заданных значениях а.

При а = 6:

$$
(a-2)^2=(6-2)^2=4^2=16, \\
a(a-4)=6(6-4)=6\cdot 2=12.
$$

Так как $$16>12,$$ то $$ (a-2)^2>a(a-4) $$ при $$a=6.$$

При а = -3:

$$
(a-2)^2=(-3-2)^2=(-5)^2=25, \\
a(a-4)=-3(-3-4)=-3\cdot(-7)=21.
$$

Так как $$25>21,$$ то $$ (a-2)^2>a(a-4) $$ при $$a=-3.$$

При а = 2:

$$
(a-2)^2=(2-2)^2=0^2=0, \\
a(a-4)=2(2-4)=2\cdot(-2)=-4.
$$

Так как $$0>-4,$$ то $$ (a-2)^2>a(a-4) $$ при $$a=2.$$

По результатам этих сравнений нельзя утверждать, что неравенство верно только для указанных значений, поэтому докажем его для любого $$a$$:

$$
(a-2)^2>a(a-4)
$$

Раскроем скобки:

$$
a^2-4a+4>a^2-4a
$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$
a^2-4a+4-a^2+4a>0
$$

$$
4>0
$$

Это верно при любом значении $$a$$, значит, для любого $$a$$ выполняется

$$
(a-2)^2>a(a-4).
$$

2) Решим уравнения.

1) $$\dfrac{x+2}{x+a}=0$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$
x+2=0,\quad x\ne -a.
$$

Отсюда $$x=-2.$$

Проверим допустимость: $$-2\ne -a,$$ то есть $$a\ne 2.$$

Значит, при $$a\ne 2$$ решение: $$x=-2,$$ а при $$a=2$$ корней нет.

2) $$\dfrac{x-a}{x-1}=0$$

Тогда

$$
x-a=0,\quad x\ne 1.
$$

Отсюда $$x=a.$$

Проверим допустимость: $$a\ne 1.$$

Значит, при $$a\ne 1$$ решение: $$x=a,$$ а при $$a=1$$ корней нет.

Ответ

1) При $$a=6$$: $$16>12$$; при $$a=-3$$: $$25>21$$; при $$a=2$$: $$0>-4$$. Для любого $$a$$: $$ (a-2)^2>a(a-4). $$

2) $$\dfrac{x+2}{x+a}=0$$: при $$a\ne 2$$ $$x=-2$$, при $$a=2$$ корней нет; $$\dfrac{x-a}{x-1}=0$$: при $$a\ne 1$$ $$x=a$$, при $$a=1$$ корней нет.