Упр.868 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x — y = -8; 2) y — x = 10? Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения
(1/(a-3)2 — 6/(9-a2) + 1/(a+3)2) : 4(2a2-9)/(81-a4) — 2a2/(9-a2)
не зависит от значения a.

1) Если $$x-y=-8,$$ то $$x-y<0.$$ Значит, $$x<y,$$ то есть $$y>x.$$

2) Если $$y-x=10,$$ то $$y-x>0.$$ Значит, $$y>x.$$

Рассмотрим выражение

$$\left(\frac{1}{(a-3)^2}-\frac{6}{9-a^2}+\frac{1}{(a+3)^2}\right):\frac{4(2a^2-9)}{81-a^4}-\frac{2a^2}{9-a^2}.$$

ОДЗ: $$9-a^2\neq 0,$$ то есть $$a\neq \pm 3.$$

Преобразуем:

$$
\left(\frac{1}{(a-3)^2}-\frac{6}{9-a^2}+\frac{1}{(a+3)^2}\right)
=
\frac{(a+3)^2-6(3-a)(3+a)+(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2}.
$$

Так как $$ (a-3)^2(a+3)^2=(9-a^2)^2, $$ а числитель равен

$$
(a+3)^2-6(9-a^2)+(a-3)^2
= (a^2+6a+9)-54+6a^2+(a^2-6a+9)
=8a^2-36=4(2a^2-9),
$$

то

$$
\left(\frac{1}{(a-3)^2}-\frac{6}{9-a^2}+\frac{1}{(a+3)^2}\right)
=
\frac{4(2a^2-9)}{(9-a^2)^2}.
$$

Тогда всё выражение равно

$$
\frac{4(2a^2-9)}{(9-a^2)^2}:\frac{4(2a^2-9)}{81-a^4}-\frac{2a^2}{9-a^2}.
$$

Так как $$81-a^4=(9-a^2)(9+a^2),$$ получаем

$$
\frac{4(2a^2-9)}{(9-a^2)^2}\cdot \frac{81-a^4}{4(2a^2-9)}-\frac{2a^2}{9-a^2}
=
\frac{81-a^4}{(9-a^2)^2}-\frac{2a^2}{9-a^2}.
$$

Далее

$$
\frac{81-a^4}{(9-a^2)^2}
=
\frac{(9-a^2)(9+a^2)}{(9-a^2)^2}
=
\frac{9+a^2}{9-a^2}.
$$

Следовательно,

$$
\frac{9+a^2}{9-a^2}-\frac{2a^2}{9-a^2}
=
\frac{9-a^2}{9-a^2}
=1.
$$

Значение выражения не зависит от $$a$$.

Ответ

1) $$y>x$$; 2) $$y>x$$; значение выражения равно $$1$$.