Упр.857 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) Чему равен нуль данной функции?
2) Укажите значения х, при которых у > 0.
3) Проходит ли график функции через точку M (-36; 68)? Упростите выражение:
1/a(a+3) + 1/((a+3)(a+6)) + 1/((a+6)(a+9)) + 1/((a+9)(a+12)).

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=-2x+4.$$

1) Найдём нуль функции, положив $$y=0$$:

$$-2x+4=0$$
$$-2x=-4$$
$$x=2.$$

2) При $$y>0$$ имеем:

$$-2x+4>0$$
$$-2x>-4$$
$$x<2.$$

Значит, $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;2).$$

3) Проверим, проходит ли график через точку $$M(-36;68)$$:

$$y=-2\cdot(-36)+4=72+4=76.$$

Так как $$76\ne 68,$$ график функции через точку $$M(-36;68)$$ не проходит.

Упростим выражение:

$$\frac{1}{a(a+3)}+\frac{1}{(a+3)(a+6)}+\frac{1}{(a+6)(a+9)}+\frac{1}{(a+9)(a+12)}.$$

Разложим каждую дробь на разность:

$$\frac{1}{a(a+3)}=\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+3}\right),$$
$$\frac{1}{(a+3)(a+6)}=\frac13\left(\frac1{a+3}-\frac1{a+6}\right),$$
$$\frac{1}{(a+6)(a+9)}=\frac13\left(\frac1{a+6}-\frac1{a+9}\right),$$
$$\frac{1}{(a+9)(a+12)}=\frac13\left(\frac1{a+9}-\frac1{a+12}\right).$$

Тогда

$$
\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+3}+\frac1{a+3}-\frac1{a+6}+\frac1{a+6}-\frac1{a+9}+\frac1{a+9}-\frac1{a+12}\right)
$$

$$=\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+12}\right)
=\frac13\cdot\frac{12}{a(a+12)}
=\frac{4}{a(a+12)}.$$

При этом $$a\ne 0,-3,-6,-9,-12.$$