Упр.854 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (12n2-5n+33)/n;
2) (n3-6n2+54)/n2;
3) (10-4n)/n;
4) (12-3n)/n.

Подробный ответ

Пусть первый рабочий может выполнить задание за $$x$$ ч, тогда второй — за $$x+12$$ ч. По условию вместе они выполняют задание на 4 ч быстрее, чем первый рабочий, значит, вместе они выполняют его за $$x-4$$ ч.

Составим уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}=\frac{1}{x-4}$$

Умножим обе части на $$x(x+12)(x-4)$$:

$$
(x+12)(x-4)+x(x-4)-x(x+12)=0
$$

$$
x^2-4x+12x-48+x^2-4x-x^2-12x=0
$$

$$
x^2-8x-48=0
$$

Найдём корни:

$$
D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-48)=64+192=256
$$

$$
x=\frac{8\pm 16}{2}
$$

$$
x_1=12,\quad x_2=-4
$$

Так как время не может быть отрицательным, подходит только $$x=12$$.

Теперь найдём натуральные значения $$n$$, при которых значение выражения является натуральным числом.

$$\frac{12n^2-5n+33}{n}=12n-5+\frac{33}{n}$$
Чтобы выражение было натуральным, число $$\frac{33}{n}$$ должно быть натуральным. Значит, $$n$$ — делитель числа $$33$$:
$$n=1,3,11,33$$
$$\frac{n^3-6n^2+54}{n^2}=n-6+\frac{54}{n^2}$$
Число $$\frac{54}{n^2}$$ должно быть натуральным, значит, $$n^2$$ — делитель числа $$54$$. Проверяем возможные натуральные $$n$$:
$$n=1 \Rightarrow 1-6+54=49$$
$$n=3 \Rightarrow 3-6+6=3$$
Остальные значения не подходят.
Значит, $$n=1,3$$.
$$\frac{10-4n}{n}=\frac{10}{n}-4$$
Чтобы выражение было натуральным, $$n$$ должно быть делителем числа $$10$$. Проверяем:
$$n=1 \Rightarrow 10-4=6$$
$$n=2 \Rightarrow 5-4=1$$
$$n=5 \Rightarrow 2-4=-2$$
$$n=10 \Rightarrow 1-4=-3$$
Подходят $$n=1,2$$.
$$\frac{12-3n}{n}=\frac{12}{n}-3$$
Число $$n$$ должно быть делителем числа $$12$$. Проверяем:
$$n=1 \Rightarrow 12-3=9$$
$$n=2 \Rightarrow 6-3=3$$
$$n=3 \Rightarrow 4-3=1$$
$$n=4 \Rightarrow 3-3=0$$
$$n=6 \Rightarrow 2-3=-1$$
$$n=12 \Rightarrow 1-3=-2$$
Подходят $$n=1,2,3$$.