Упр.851 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите тождество:
1/((b-c)(c-a)) — 1/((a-b)(c-b)) + 1/((a-c)(b-a)) = 0.

Пусть через первую трубу бассейн наполняется за $$x$$ ч. Тогда через вторую трубу он наполняется за $$x+2$$ ч, а через третью — за $$x+8$$ ч.

За 1 час первая труба наполняет $$\frac{1}{x}$$ бассейна, вторая — $$\frac{1}{x+2}$$, третья — $$\frac{1}{x+8}$$.

По условию, первая труба наполняет бассейн за столько же времени, сколько вторая и третья трубы вместе, значит:

$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+8}=\frac{1}{x}$$

Умножим обе части на $$x(x+2)(x+8)$$:

$$
x(x+8)+x(x+2)=(x+2)(x+8)
$$

$$
x^2+8x+x^2+2x=x^2+10x+16
$$

$$
x^2-16=0
$$

$$
x^2=16
$$

$$
x=4 \quad \text{или} \quad x=-4
$$

Отрицательное значение не подходит, значит $$x=4$$.

Тогда:

$$x+2=6,\qquad x+8=12$$

Проверим тождество:

$$
\frac{1}{(b-c)(c-a)}-\frac{1}{(a-b)(c-b)}+\frac{1}{(a-c)(b-a)}=0
$$

Приведём к общему знаменателю:

$$
\frac{1}{(b-c)(c-a)}-\frac{1}{(a-b)(c-b)}+\frac{1}{(a-c)(b-a)}
=
\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(b-c)(a-b)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}
$$

$$
=
\frac{a-b+c-a+b-c}{(b-c)(c-a)(a-b)}
=
\frac{0}{(b-c)(c-a)(a-b)}=0
$$

Ответ

$$4\text{ ч},\ 6\text{ ч},\ 12\text{ ч}.$$ Тождество верно.