Упр.838 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч. На тарелке лежат 9 кусочков сыра разной массы. Докажите, что можно один из кусочков сыра разрезать на две части так, что полученные 10 кусочков можно будет разложить на две тарелки и при этом масса сыра на каждой из них будет одинаковой.

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда по течению его скорость равна $$x+1$$ км/ч, а против течения — $$x-1$$ км/ч. Время всего пути: $$1\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{3}{2}\text{ ч}.$$

Составим уравнение:

$$\frac{16}{x+1}+\frac{30}{x-1}=\frac{3}{2}.$$

Умножим обе части на $$2(x+1)(x-1)$$:

$$
32(x-1)+60(x+1)=3(x^2-1)
$$

$$
32x-32+60x+60=3x^2-3
$$

$$
-3x^2+92x+31=0
$$

$$
3x^2-92x-31=0.
$$

Найдём корни:

$$
D=92^2-4\cdot 3\cdot(-31)=8464+372=8836,
$$

$$
\sqrt{D}=94.
$$

$$
x=\frac{92\pm 94}{6}.
$$

Получаем:

$$
x_1=\frac{92-94}{6}=-\frac{1}{3}, \qquad x_2=\frac{92+94}{6}=31.
$$

Так как скорость не может быть отрицательной, подходит только $$x=31$$.

Проверка идеи с сыром: если расположить 9 кусочков в ряд по их массам и мысленно отметить середину общей массы, то либо эта точка попадает внутрь одного из кусочков, либо совпадает с границей между кусочками. В первом случае разрезаем этот кусочек на две части так, чтобы середина общей массы пришлась на место разреза; тогда на обеих тарелках масса сыра будет одинаковой. Во втором случае разрез не нужен, но по условию можно разрезать любой кусочек на две части, не нарушая равенства масс на тарелках. Значит, требуемое разложение всегда возможно.