Упр.835 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Наборщик должен был за некоторое время набрать 180 страниц. Однако он выполнил эту работу на 5 ч раньше срока, так как набирал на 3 страницы в час больше, чем планировал. Сколько страниц в час он набирал? При каком значении k график функции у = k/x проходит через точку А (- корень 12; корень 3)? Постро те этот график.

Подробный ответ

1) Пусть наборщик планировал набирать $$x$$ страниц в час. Тогда фактически он набирал $$x+3$$ страниц в час.

По условию на всю работу в $$180$$ страниц он затратил на $$5$$ часов меньше, чем планировал, поэтому составим уравнение:

$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+3}=5.$$

Умножим обе части на $$x(x+3)$$:

$$180(x+3)-180x=5x(x+3).$$

$$180x+540-180x=5x^2+15x.$$

$$5x^2+15x-540=0.$$

Разделим на $$5$$:

$$x^2+3x-108=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-108)=9+432=441,$$

$$x=\frac{-3\pm 21}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-12,$$

$$x_2=9.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, берём $$x=9$$. Тогда фактически наборщик набирал:

$$9+3=12.$$

2) Точка $$A(-\sqrt{12};\sqrt{3})$$ принадлежит графику функции $$y=\frac{k}{x}$$, значит её координаты удовлетворяют уравнению:

$$\sqrt{3}=\frac{k}{-\sqrt{12}}.$$

Тогда

$$k=-\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=-\sqrt{36}=-6.$$

Следовательно, график имеет вид $$y=-\frac{6}{x}$$. Это гипербола с ветвями во II и IV четвертях; для построения можно отметить, например, точки $$(-6;1)$$, $$(-3;2)$$, $$(-2;3)$$, $$(-1;6)$$, $$ (1;-6)$$, $$ (2;-3)$$, $$ (3;-2)$$, $$ (6;-1)$$ и провести плавные ветви, приближающиеся к осям координат.