Упр.830 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Используя построенный график, определите, при каких значениях а прямая у = а имеет с этим графиком: 1) единственную общую точку; 2) две общие точки; 3) три общие точки. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 360 деталей. Первые 5 дней он ежедневно изготавливал запланированное количество деталей, а затем ежедневно изготавливал на 4 детали больше, и уже за день до срока изготовил 372 детали. Сколько деталей ежедневно должен был изготавливать рабочий но плану?

Подробный ответ

1) Для функции

$$
y=
\begin{cases}
-\dfrac{8}{x}, & x<-2,\\
x^2, & x\ge -2
\end{cases}
$$

рассмотрим отдельно каждую часть графика.

При $$x<-2$$ имеем ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{8}{x}$$. На границе $$x=-2$$ получаем $$y=4$$, но эта точка не входит в первую часть графика.

При $$x\ge -2$$ имеем параболу $$y=x^2$$, которая начинается в точке $$(-2;4)$$ и проходит через точку $$ (0;0) $$.

Теперь определим число общих точек с прямой $$y=a$$.

Для ветви гиперболы $$y=-\dfrac{8}{x}$$ при $$x<-2$$ значения $$y$$ лежат в промежутке $$0<y<4$$.
Для параболы $$y=x^2$$ при $$x\ge -2$$ значения $$y$$ лежат в промежутке $$y\ge 0$$, причём:
- при $$a=0$$ — одна точка;
- при $$0<a<4$$ — три точки;
- при $$a=4$$ — две точки;
- при $$a>4$$ — одна точка.

Значит:

1) единственная общая точка при $$a=0$$ и при $$a>4$$;

2) две общие точки при $$a=4$$;

3) три общие точки при $$0<a<4$$.

2) Пусть по плану рабочий должен был изготавливать $$x$$ деталей в день. Тогда за весь срок он должен был изготовить $$360$$ деталей, то есть работать $$\dfrac{360}{x}$$ дней.

Первые 5 дней он изготавливал по $$x$$ деталей, затем стал изготавливать по $$x+4$$ деталей в день. За день до срока он уже изготовил $$372$$ детали, значит, на последний день осталось изготовить

$$372-5x$$

деталей, на что ушёл ещё один день. Тогда составим уравнение:

$$
5+1+\dfrac{372-5x}{x+4}=\dfrac{360}{x}
$$

Упростим:

$$
6+\dfrac{372-5x}{x+4}=\dfrac{360}{x}
$$

$$
6x(x+4)+x(372-5x)-360(x+4)=0
$$

$$
6x^2+24x+372x-5x^2-360x-1440=0
$$

$$
x^2+36x-1440=0
$$

Найдём корни:

$$
D=36^2+4\cdot1440=1296+5760=7056
$$

$$
\sqrt{7056}=84
$$

$$
x_{1,2}=\dfrac{-36\pm84}{2}
$$